Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧИ
1. а) Покажите, что вдоль главных направлений симметрии, показанных на фиг. 10.5, выражение (10.22), полученное в приближении сильной связи для энергий s-зоны в г. ц. к. кристалле, принимает следующий вид:
1) Вдоль ГХ (ку = kz = 0, кх = ц2я/а, 0 < ц < 1)
% = Es — ? — 4v (1 + 2 cos ця).
2) Вдоль ГЬ (кх = ку = = ц2яla, 0 < ц < V2)
% = ES— ?—12Y cos2 ця.
3) Вдоль ГК (kz = 0, кх = ку = ц2я/а, 0 < ц < 3I1)
% = Es-?—4у (cos2 ця+ 2 cos ця).
4) Вдоль ГW (kz = 0, кх = ц2я/а, ку = 1I2^nIa, Osg ц < 1)
U = Es — ? — 4у (cos ця + cos V2ця + cos ця cos 1/2цл).
б) Покажите, что на квадратных гранях зоны Бриллюэна производная от % по нормали к поверхности обращается в нуль.
в) Покажите, что на шестиугольных гранях зоны Бриллюэна производная от % по нормали обращается в нуль лишь на линиях, соединяющих центр шестиугольника с его вершинами.
2. р-зоны с сильной связью в кубических кристаллах
Для кубических кристаллов наиболее удобные линейные комбинации волновых функций трех вырожденных атомных р-уровней имеют вид хф(г), уф(г) и гф(г), где функция ф зависит только от абсолютной величины вектора г. Энергии электронов в трех соответствующих р-зонах можно найти из уравнения (10.12), положив равным нулю детерминант
I (% (к)-Ер) 6M + ?W + VU (к) | = 0, (10.30)
где
уи (к)= V eik,RY?; (R), Уij (R)= - { drij;* « ty (г-R) AU (г), (10.31)
r j
__?ij = Yiy (R=0).
1) Относительно простые рассуждения для одномерного случая даны Коном [5]. Более общее обсуждение можно найти в обзоре Блаунта [6].:194
Глава 12
(10.32)
где
[В выражении (10.30) опущен член, на который умножается величина ?(k) — Ev — он приводит к очень малым поправкам, аналогично знаменателю в выражении (10.15) для случая s-зоны.]
а) Используя кубическую симметрию, покажите, что
?** = ?j№ = ?zz = ?> ?*„ = 0.
б) Предполагая, что коэффициенты \ij(R) отличны от нуля только для R, соответствующих ближайшим соседям, покажите, что матрица Y;;(k) для простой кубической решетки Бравэ диагональна, а поэтому каждая из функций хф(г), уф(г) и гф(г) порождает свою независимую зону. [Заметим, что это перестает быть справедливым при учете Yij(R) Для век~ торов R, соответствующих более далеким соседям.]
в) Для г. ц. к. решетки Бравэ, в которой достаточно велики лишь коэффициенты Yij для ближайших соседей, покажите, что энергетические зоны определяются корнями уравнения
% (к) — (к)+ —4Yi sin lj2kxa sin 1I2Itya —4yi sin г/2кха sin 1I2 kza + 4Yo cos 1IzkyCL cos 1I2ItzCi
-Zy1 sin 1Ukya sin 1IskxU 1S (k) — l°(k) + —4Vi sin V2A^a sin xl2kza
jT by о cos 1JzkzO cos 1Izkxa і \ • /
— Ay1 sin 1Z2Zc2O sin 1I2Itxa —іУі sin 1^kzO sin 1I2 kya % (k) — (k) +
+ 4Yo cos 1Itkxa cos 1I2Icyd (к) = Ep — ? — 4-у2 (cos ll2kxa cos 1I2JtzO-|-cos 1I2JtxO cos г/2куа-\- cos 1I2Itya cos 1I2JizO), Y0 = - f dr [x*-y (у-1I2O)] ф (г) ф ([«« + (if — !/.a)» + (z — 1/2e)aJ1/2) AU (r),
J (10.34)
Yi = - J dr (X-1I2O) (y-1I2O) Ф (г) ф ([(*-V.a), + (»-1/,«), + *s] /2) A U (r),
Y2 = - j drx (X-1I2O) ф (г) ф ([(X-V2fl)2-HJ/-V2a)4-z2]1/2) ДU (r).
г) Покажите, что все три зоны вырождены при k = 0 и что при к, направленном либо вдоль оси куба (ГХ), либо вдоль его диагонали (TL), имеет место двукратное вырождение. Изобразите схематически вид энергетических зон вдоль этих направлений (аналогично фиг. 10.6).
3. Докажите, что функции Ваннье с центрами в различных узлах решетки ортогональны:
j Ф* (r-R) Фя. (r-R') dr ~ 6n n,6R> (10.35)
Воспользуйтесь ортонормированностыо блоховских функций и наличием тождества (Е.4) (см. приложение Е). Покажите далее, что
j й|ф„(г)|2=1, (10.36)
если интеграл от | i|>nk(r) I2 по элементарной ячейке нормирован на единицу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hartree D. R., Hartree И7., Ргос. Roy. Soc., А193, 299 (1948).
2. Fletcher G. С., Ргос. Phys. Soc., А65, 192 (1952).
3. Friedet J., Lenghart P., Leman G., J. Phys. Chem. Solids, 25, 781 (1964).
4. Jones H., The Theory of Brillouin Zones and Electron States in Crystals, North-Holland, Amsterdam, 1960, p. 229. (Имеется перевод: Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах.— M.: Мир, 1968.)
5. Kohn W., Phys. Rev., 115, 809 (1959).
6. Blount Е. 1., Solid State Physics, vol. 13, Academic Press, New York, 1962, p. 305.ГЛАВА 11
ДРУГИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ
ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ ВАЛЕНТНОЙ ЗОНЫ
МЕТОД ЯЧЕЕК МТ-ПОТЕНЦИАЛЫ МЕТОД ПРИСОЕДИНЕННЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН (ППВ) МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА (KKP) МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗОВАННЫХ ПЛОСКИХ ВОЛН (ОПВ) ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ
В гл. 9 и 10 мы исследовали приближенные решения одноэлектронного уравнения Шредингера, получаемые в предельных случаях почти свободных электронов и сильной связи. На практике приближение сильной связи (по крайней мере в том простом виде, как оно было сформулировано в гл. 10) пригодно только для описания зон, порождаемых уровнями ионного остова, а приближение почти свободных электронов не может быть прямо применено ни к одному реальному твердому телу х). Поэтому цель настоящей главы — изложить более общие методы, которые действительно применяются при расчете конкретных зонных структур.