Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1. В пределе малых ка (10.22) переходит в выражение
Ш (к) = Es — ? — 1 2y + ук2а2.
(10.24) •188
Глава 4
Энергия не зависит от направления вектора к, т. е. изоэнергетические поверхности вблизи точки k = 0 представляют собой сферы *).
2. Если построить кривые зависимости Ш от к вдоль любой прямой, перпендикулярной одной из квадратных граней первой зоны Бриллюэна (фиг. 10.5),
Фиг. 10.5. Первая зона Бриллюэна для г. ц. к. кристаллов. Точка Г лежит в центре зоны. Для указания точек высокой симметрии на границе зоны принято использовать
обозначения К, L1 W и X.
то в общем случае при пересечении грани наклон кривой будет равен нулю (см. задачу 1).
3. Если построить кривую зависимости Ш от к вдоль любой прямой, перпендикулярной одной из шестиугольных граней первой зоны Бриллюэна (фиг. 10.5), то в общем случае при пересечении грани наклон кривой не обязательно равен нулю (см. задачу 1) 2).
1. В практически интересных случаях в разложение (10.7) входит не один, а несколько атомных уровней, что приводит к задаче на собственные значения с матрицей 3x3 для трех р-уровней, к задаче с матрицей 5x5 для пяти ^-уровней и т. п. На фиг. 10.6, например, показана зонная структура никеля при расчете по методу сильной связи с использованием 5-кратно вырожденных атомных 3d-уровней. Приведены графики зонных энергий для трех симметричных направлений в зоне Бриллюэна, каждому из которых соответствует своя степень вырождения 3).
2. Общей чертой метода сильной связи является соотношение между шириной зоны и интегралами перекрытия
Если интегралы перекрытия -уи малы, ширина зоны также мала. Как правило, с ростом энергии данного атомного уровня (т. е. с уменьшением энер-
х) Это свойство можно доказать в общем случае для любой невырожденной зоны в кристалле с кубической симметрией.
2) Интересно сопоставить этот результат со случаем свободных электронов (стр. 165), когда скорость изменения % вдоль прямой, перпендикулярной брэгговской плоскости, всегда оказывалась равной нулю, если пересечение имело место в точках, удаленных от других брэгговских плоскостей. Результат, полученный в приближении сильной связи, иллюстрирует более общую возможность, возникающую из-за отсутствия плоскости зеркальной симметрии, параллельной шестиугольной грани.
3) Рассчитанные зоны столь широки, что это ставит под сомнение справедливость всего разложения. Для более реалистического расчета следовало бы учесть как минимум также и влияние 4і-уровня.
ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ
(10.25) Метод сильной связи
189
тии связи) увеличивается пространственная протяженность его волновой функции. Следовательно, низколежащие зоны в твердом теле очень узки, но ширина зоны увеличивается с ростом энергии зоны. В металлах ширина наиболее высокой зоны (или зон) очень велика, поскольку радиусы локализации самых
Фиг. 10.6. Расчет 3d-30H для никеля по методу сильной связи. (Из работы [2].)
Энергии приведены в единицах Jf0= 1,349 эВ; соответственно зоны имеют ширину примерно 2,7 эВ. Кривые для <о построены вдоль прямых, показанных на фиг. 10.5. Обратите внимание на характерное вырождение вдоль прямых ГХ и TL и на отсутствие вырождения вдоль ГК. Большая ширина зон указывает на неадекватность такого упрощенного анализа.
высоких атомных уровней сравнимы с постоянной решетки; в этом случае справедливость приближения сильной сиязи довольно сомнительна.
3. Хотя в методе сильной связи волновая функция (10.6) строится из локализованных атомных волновых функций ф, электрон на получаемом уровне можно обнаружить с равной вероятностью в любой ячейке кристалла. Это
Ж м -Vv-
W. w
Фиг. 10.7. Типичное пространственное изменение действительной (или мнимой) части волновой функции (10.6), полученной в приближении сильной связи.
объясняется тем, что волновая функция электрона (как и любая блоховская волновая функция) при переходе от одной ячейки к другой, отстоящей от нее на расстояние R, меняется лишь на фазовый множитель eik R. Следовательно, при изменении г от ячейки к ячейке на атомную структуру волновой функции в пределах каждой ячейки накладывается синусоидальная зависимость амплитуд Re г|з и Im г|з, как показано на фиг. 10.7.
Другое указание на то, что уровни в приближении сильной связи имеют характер бегущих волн и не локализованы, дает теорема, согласно которой средняя скорость электрона на блоховском уровне с волновым вектором к и энергией Ш (к) определяется выражением v (к) = (ПК) дїї/дк (см. приложение Д). Если ЇЇ не зависит от к, то производная дШ/дк равна нулю. Это согласуется с тем, что на подлинно изолированных атомных уровнях (дающих :190
Глава 12
зону нулевой ширины) электроны действительно «привязаны» к отдельным атомам. Если, однако, существует отличное от нуля перекрытие атомных волновых функций, то энергия Ш (к) не постоянна во всей зоне Бриллюэна. Поскольку малое изменение Щ приводит к малому ненулевому значению д<Идк и, следовательно, к малой, но не равной нулю средней скорости, мы получаем, что, пока имеет место перекрытие, электроны способны свободно передвигаться по кристаллу! Уменьшение перекрытия лишь понижает скорость этого движения, но не прекращает его. Такое движение можно рассматривать как квантовомеханическое туннелирование от одного узла решетки к другому. Чем меньше перекрытие, тем ниже вероятность туннелирования и поэтому тем большее время требуется для прохождения заданного расстояния.
