Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Причина подобного отклонения от предсказаний теории сильной связи заключается в том, что приближение независимых электронов неспособно учесть чрезвычайно сильное дополнительное отталкивание, ощущаемое электроном при подходе к узлу с атомом, где уже находится один электрон. Подробнее мы обсудим эту проблему в гл. 32, а пока упомянули о ней потому, что иногда ее описывают как пример нарушения метода сильной связи 3). Это не совсем правильно, поскольку именно в этом случае применение приближения сильной связи к модели независимых электронов оказывается наиболее оправданным; все дело в том, что неприменимым становится само приближение независимых электронов.
1J Включение спин-орбитальной связи в метод сильной связи обсуждалось Фриделем и др. [3].
2) Такой эксперимент трудно реализовать в лабораторных условиях, но вполне можно представить теоретически, что позволяет лучше понять происхождение энергетических зон.
3) См., например, книгу Джонса [4]. :192
Глава 12
ФУНКЦИИ ВАННЬЕ
В заключение настоящей главы покажем, что для любой зоны блоховские функции всегда можно записать в виде выражения (10.4), на котором основано приближение сильной связи. Функции ф, играющие роль атомных волновых функций, называют функциями Ваннъе. Функции Ваннье могут быть определены для любой зоны независимо от того, как она описывается приближением сильной связи. Однако если зона не является узкой зоной с сильной связью, то ее функции Ваннье мало напоминают электронные волновые функции изолированного атома. ,
Покажем теперь, что любую блоховскую функцию Iprtlc (г) можно записать в виде (10.4). Заметим прежде всего, что т|)пк (г) при фиксированном г является периодической функцией от к в обратной решетке. Следовательно, она обладает фурье-разложением по плоским волнам с волновыми векторами, лежащими в обратной к обратной, т. е. в прямой, решетке. Поэтому при любом заданном г мы можем написать
¦фпк (г) = У] fn (R5 г) eiR-k, (10.27)
r
где коэффициенты в сумме зависят не только от «волновых векторов» R, но и от г, поскольку при разных г мы разлагаем в ряд разные функции от к.
Коэффициенты Фурье в разложении (10.27) даются формулой обращения *)
/„(R, г) =-M dke-^-^fr). (10.28)
yO J
Если функция fn (R, г) зависит от г и R лишь через их разность г — R, то разложение (10.27) имеет вид (10.4). Но при одновременном смещении г и R на любой вектор R0 решетки Бравэ / действительно не меняется — это непосредственно следует из выражения (10.28) и теоремы Блоха в форме (8.5). Следовательно, функция fn (R, г) имеет вид
/„ (R, г) = фп (R - г). (10.29)
В отличие от атомных функций ф (г) в методе сильной связи функции Ваннье фп (г — R) для разных узлов (или разных индексов зоны) оказываются ортогональными [см. задачу 3, формулу (10.35)]. Поскольку все блоховские функции, составляющие в совокупности полный набор, можно записать в виде линейных комбинаций функций Ваннье фп (г — R), эти функции для всех п и R образуют полный ортогональный набор. Поэтому они служат альтернативным базисом для точного описания уровней независимых электронов в кристаллическом потенциале.
Формальная аналогия между функциями Ваннье и волновыми функциями в приближении сильной связи наводит на мысль, что функции Ваннье также должны быть локализованными, т. е. что функция фп (г) становится пренебрежимо малой, когда г значительно превышает некоторую длину порядка межатомных расстояний. В той мере, в какой это предположение удается подтвердить, функции Ваннье дают идеальный способ описания явлений, в которых важную роль играет пространственная локализация электронов. По-видимому, наиболее важные области их применения Таковы.
1J Здесь V0 — объем первой зоны Бриллюэна в й-пространстве и интегрирование ведется по этой зоне. Формулы (10.27) и (10.28), если г рассматривать как фиксированный параметр, совпадают с формулами (Г.1)и(Г.2) приложения Г с заменой прямого пространства на обратное. Метод сильной связи
193
1. Попытки вывести теорию эффектов переноса для блоховских электронов. Используя функции Ваннье, легко построить такие уровни электрона в кристалле, которые, подобно волновым пакетам свободных электронов, локализованы как по г, так и по к. Теория функций Ваннье тесно связана с изучением пределов применимости полуклассической теории эффектов переноса для блоховских электронов (гл. 12 и 13).
2. Изучение явлений с участием локализованных электронных уровней, возникающих, в частности, из-за наличия притягивающих примесей, которые захватывают электрон. Очень важный пример — теория донорных и акцепторных уровней в полупроводниках (гл. 28).
3. Изучение магнитных явлений, обусловленных наличием локализованных магнитных моментов на некоторых примесных узлах.
Теоретическое исследование радиуса локализации функций Ваннье в общем случае представляет собой довольно тонкую задачу х). Грубо говоря, радиус локализации функции Ваннье уменьшается с увеличением энергетической щели (это можно ожидать исходя из приближения сильной связи, в котором зоны становятся более узкими при уменьшении радиуса локализации атомных волновых функций). Когда запрещенная зона мала, возникают различные явления «пробоя», упоминаемые в гл. 12; их появление означает, что в этом пределе теории, основанные на локализации функций Ваннье, становятся менее надежными.
