Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
T|^(r + R) = e"'i4-k(r), [(11.6)
достаточно решить уравнение Шредингера (11.1) внутри одной элементарной ячейки C0. Зная значения волновой функции в ячейке C0, можно определить ее величину в остальных элементарных ячейках с помощью соотношения (11.6).
Однако не всякое решение уравнения (11.1) в ячейке C0 дает в результате допустимую волновую функцию целого кристалла, ибо т|) (г) и V (г) должны быть непрерывны, когда г пересекает границы элементарных ячеек *). С учетом условия (11.6) это требование можно сформулировать, воспользовавшись лишь значениями т|) внутри и на поверхности ячейки C0. Именно граничное условие вводит в решения метода ячеек волновой вектор к и исключает все решения, кроме решений, соответствующих дискретному множеству энергий, представляющих собой зонные энергии Ш = (к).
Граничные условия на поверхности ячейки C0 таковы:
¦ф (г) = e~lk,Ri|: (г + R) (11.7)
и
n(r).V^ (г) = — e-ik*Rn::(r-l-R).VTj: (r + R), (11.8)
где обе точки, гиг+ R, лежат на поверхности ячейки, an — внешняя нормаль (см. задачу 1).
Таким образом, аналитически задача свелась к решению уравнения (11.1) внутри элементарной ячейки C0 с выписанными граничными условиями. Чтобы не нарушить симметрию кристалла, в качестве C0 выбирают элементарную ячейку Вигнера — Зейтца (см. гл. 4) с центром в точке R = O решетки.
Мы сформулировали точную постановку задачи. Первое приближение метода ячеек состоит в замене периодического потенциала U (г) в элементарной ячейке Вигнера — Зейтца потенциалом V (г), который сферически-симметричен по отношению к центру ячейки (фиг. 11.3). Можно, например, выбрать в качестве V (г) потенциал отдельного иона, расположенного в центре ячейки, игнорируя тот факт, что соседние ионы будут также давать вклад в U (г) внутри C0, особенно вблизи границ ячейки. К этому приближению прибегают исключительно из практических соображений, чтобы сделать трудную вычислительную задачу более доступной для решения.
г) Если бы ij) иля ViJ) терпели разрыв на границе ячейки, то тогда на этой границе слагаемое V2iJ) обладало бы особенностями (которые были бы o-функциями или производными от 5-функции). Поскольку слагаемое UxJ) на границе не содержит никаких подобных членов, уравнение Шредингера не было бы удовлетворено. :200 Глава 12
Если внутри C0 потенциал выбран сферически-симметричным, тогда в этой элементарной ячейке полный набор решений уравнения Шредингера (11.1) имеет вид х)
Ьт (T) = Ylm (0, ф) X1 (г), (11.9)
где Yim (0, ф) — сферические функции, а %і (г) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
XI (г) +уП(г) + ^(Ш-У(г)-^ ) X1 (г) = 0. (11.10)
При заданном потенциале V (г) и любом заданном значении Ш существует единственная функция служащая решением уравнения (11.10) и регу-
Фиг. 11.3. Эквипотенциали [т. е. кривые постоянного значения потенциала U (г)] внутри
элементарной ячейки.
Для реального кристаллического потенциала они сферически-симметричны вблизи центра ячейки, где в потенциале преобладает вклад от центрального иона, однако вблизи границы ячейки потенциал значительно отклоняется от сферически-симметричного. B методе ячеек в качестве аппроксимации используется потенциал, сферически-симметричный всюду в ячейке; его эквипотенциали показаны справа.
лярная в начале координат 2). Функции можно рассчитать численно,
поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения легко решаются с использованием ЭВМ. Поскольку любая суперпозиция решений уравнения Шре-
См., например, книгу Парка [5] или любой другой учебник квантовой механики. Существует, однако, одно важное отличие по сравнению с известным атомным случаем. В атомной физике граничное условие (обращение в нуль на бесконечности) также сфериче-ски-симметрично, следовательно, каждое отдельное слагаемое вида (11.9) дает стационарное состояние (т. е. угловой момент — хорошее квантовое число). В данном случае (за исключением модели сферической ячейки, описанной ниже) граничное условие не обладает сферической симметрией. В связи с этим стационарные волновые функции имеют вид (11.9) с коэффициентами, отличными от нуля для нескольких разных значений I и т., т. е. угловой момент более не является хорошим квантовым числом.
2) Это утверждение может показаться несколько странным, поскольку в атомной физике, решая задачу для отдельного атома, мы всегда получаем дискретный набор собственных значений, а именно энергетические уровни атома для углового момента I. В задаче для атома такой результат возникает потому, что там граничное условие заключается в обращении функции %і(г) в нуль при г оо. Здесь же нас интересует Xi лишь в пределах ячейки Вигнера — Зейтца и никакого подобного дополнительного условия не требуется; в конечном счете разрешенные значения % будут определяться граничными условиями (11.7) и (11.8) для кристалла. Наложение их действительно вновь приводит к дискретному набору энергий
Шп (к). Другие методы расчета зонной структуры
201
дингера с одинаковой энергией сама служит его решением, функция
