Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела. Том 1" -> 104

Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела. Том 1 — М.: Мир, 1979. — 458 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikatverdogotela1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 203 >> Следующая


2) Оказывается, что в виде (10.6) можно представить любую блоховскую функцию (см. стр. 192); при этом ф называют функцией Ваннье. Таким образом, подобное предположение не нарушает общности наших рассуждений. •184

Глава 4

ных атомных волновых функций 2)

^W = EbAW' (10.7)

п '

Если умножить уравнение Шредингера для кристалла

Hne (г) = (Hat + AU (г)) ф (г) = Ш (k) ip (г) (10.8)

на атомную волновую функцию "ф^ (г), проинтегрировать по всем г и использовать то обстоятельство, что

j Гт (г) Hat^ (г) dr = j (Я ato|,m (г))*о|> (г) dr = Em J о|4 (г) Ур (г) dr, (10.9) то получим

(Ш (k) - Em) J Гш (г) Ф (Г) dr= j о|>* (T)AU (г) ф (г) dr. (10.10)

Подставляя разложения (10.6) и (10.7) в уравнение (10.10) и используя ортонор-мированность атомных волновых функций

І (г) о|>п (г) dr = 8пт, (10.11)

приходим к задаче на собственные значения, позволяющей определить коэффициенты &л(к) и блоховские энергии % (к):

(g[(k)~?m)&m=-(g (k)-?m) 2 ( 2 j (r)TMr-R)eik-Rdr)bn +

п R#=0

+ 2 (j гр* (F)ACZ(F)Ol5n (г) dr)bn +

П

+ 2(2 j ^m(F)ACZ(F)Ol5n (r-R)e"-*dr) bn. (10.12)

n R=/-o іг

Первый член в правой части уравнения (10.12) содержит интегралы вида 3)

j dro|4(r)o|>n(r-R). (10.13)

Говоря о хорошо локализованных атомных уровнях, мы имеем в виду малость интегралов (10.13) по сравнению с единицей. Мы считаем, что интегралы в третьем слагаемом справа в уравнении (10.12) также малы, поскольку они содержат произведение двух атомных волновых функций, относящихся к разным узлам. Наконец, мы предполагаем, что второе слагаемое в правой части уравнения (10.12) также мало, поскольку, как мы ожидаем, атомные волновые функции

1J Оставляя в разложении (10.7) лишь локализованные атомные волновые функции (относящиеся к связанным уровням), мы делаем первое серьезное приближение. Полный набор атомных уровней включает в себя также и уровни, которые соответствуют ионизованному состоянию атома. Начиная с этого момента, метод становится не применимым к уровням, которые хорошо описываются приближением почти свободных электронов.

2) Ввиду такого способа приближенного разложения ф метод сильной связи иногда называют методом линейных комбинаций атомных орбиталей (JIKAO).

3) Интегралы, в подынтегральные выражения которых входит произведение волновых функций, относящихся к различным узлам решетки, называют интегралами перекрытия. В приближении сильной связи используется малость таких интегралов. Они играют также важную роль в теории магнетизма (см. гл. 32). Метод сильной связи

185

становятся малыми на расстояниях, при которых периодический потенциал начинает значительно отличаться от атомного 4).

Следовательно, правая часть уравнения (10.12) [а поэтому и величина i? (k) — Em) Ът] всегда мала. Это возможно, если разность % (к) — Em мала всюду, где не мала величина Ьт (и наоборот). Таким образом, энергия ? (к) должна быть близка к какой-либо энергии E0 атомного) уровня, а все коэффициенты Ът, кроме соответствующих этому уровню и уровням, имеющим равную с ним (или близкую) энергию, обязаны быть малыми 2):

Ш (к) « E0, Ът « 0, если Em * E0. (10.14)

Если бы равенства в (10.14) были строгими, мы вернулись бы к предельному случаю, в котором уровни в кристалле совпадают с атомными уровнями. Теперь, однако, мы можем более точно определить уровни в кристалле, вычислив с использованием (10.14) правую часть уравнений (10.12). В силу условий (10.14) можно ограничиться суммированием только по тем значениям п, для которых энергии совпадают с E0 или близки к ней. Если нулевой атомный уровень не вырожден3), т. е. является s-уровнем, то в рассматриваемом приближении система (10.12) сводится к одному уравнению, из которого можно найти явное выражение для энергии зоны, порождаемой этим уровнем (ее называют «s-зоной»). Если нас интересуют зоны, порождаемые атомным р-уровнем, который трехкратно вырожден, то (10.12) дает систему из трех однородных уравнений; ее собственные значения определяют энергии Ш (к) для трех зон, а решения Ъ (к) дают коэффициенты разложения ф по волновым функциям атомных ^-уровней для различных к в зоне Бриллюэна. Чтобы построить d-зону из атомных с?-уровней, необходимо решить задачу на собственные значения с матрицей 5 X 5 и т. п.

Если окажется, что получившиеся в результате энергии Ш (к) для некоторых к сильно отличаются от атомных значений, то необходимо повторить процедуру, добавив к разложению (10.7) для ф те атомные уровни, к энергиям которых приближаются величины Ъ (к). Так, например, при расчете зонной структуры переходных металлов, атомы которых имеют внешнюю s-оболочку и частично заполненную гі-оболочку, приходится решать задачу на собственные значения с матрицей 6x6, учитывая как d-, так и s-уровни. В этом случае говорят о «s — гі-смешивании» или «гибридизации».

Часто атомные волновые функции имеют столь малый радиус локализации, что суммирование по R в (10.12) следует проводить только по ближайшим соседям, и последующий анализ значительно упрощается. Проиллюстрируем кратко получающуюся тогда зонную структуру на примере простейшего случая4).
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed