Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
В гл. 8 было отмечено, что уже записывая отдельное уравнение Шредингера 2)
( - ? V2+ ¦и (г>) W = ш W ч* W (11 -1)
для каждого из электронов, мы существенно упрощаем реальную задачу о большом числе взаимодействующих электронов в периодическом потенциале. При строгом рассмотрении электрон нельзя описывать волновой функцией, определяемой одночастичным уравнением Шредингера, т. е. независимо от всех остальных электронов.
Фактически в приближении независимых электронов не полностью пренебрегают электрон-электронными взаимодействиями. Скорее предполагают, что большинство наиболее важных эффектов можно учесть путем разумного выбора периодического потенциала U (г), входящего в одноэлектронное уравнение Шредингера. Таким образом, U (г) содержит не только периодический потенциал ионов, но также и периодические эффекты, обусловленные взаимодействием данного электрона [волновая функция которого входит в (11.1)] со всеми другими электронами. Последнее взаимодействие зависит от взаимного расположения других электронов, т. е. зависит от их индивидуальных волновых функций, которые также определяются уравнениями Шредингера
1J Однако более изощренные методы часто дают описание, очень похожее на приближение свободных электронов, если использовать несколько модифицированный периодический потенциал, который называют псевдопотенциалом (см. ниже).
2) Мы по-прежнему не указываем явно номер зоны п, когда это не ведет к неоднозначности. :196
Глава 12
JA
J, г
1,0
o t
O1S
вида (11.1). Поэтому, чтобы знать потенциал в (11.1), необходимо вначале знать все решения этого уравнения. Поскольку, однако, чтобы знать решения, необходимо знать потенциал, перед нами встает трудная математическая проблема.
Простейшая (и часто наиболее удобная) процедура заключается в следующем. Исходя из каких-либо разумных соображений о виде потенциала U (г), выберем потенциал U0 (г) и вычислим из (11.1) волновые функции занятых
электронных уровней и по ним заново рассчитаем U (г). Если окажется, что новый потенциал U1 (г) совпадает с U0 (г) (или очень близок к нему), то будем считать, что достигнуто самосогласование, и возьмем U=U1 в качестве реального потенциала. Если U1 отличается от U0, то повторим процедуру, начиная с U1, и возьмем Ui в качестве реального потенциала, если он очень близок к U1, а в противном случае перейдем к вычислению U3. При этом мы руководствуемся надеждой, что такая процедура сходится и дает в результате самосогласованный потенциал, воспроизводящий сам себя *).
В настоящей главе (как и в гл. 8—10) потенциал U (г) считается заданной функцией. Это означает, что либо мы проводим первую стадию итерационной процедуры, либо нам настолько хорошо удалось угадать вид потенциала U (г), что он с самого начала является в достаточной мере самосогласованным. Надежность описываемых ниже методов ограничена не только точностью вычисления решений уравнения (11.1), которая может быть чрезвычайно высокой, но и точностью, с которой мы можем определить потенциал U (г). Получающиеся в результате значения ^n(k), к сожалению,
0,6
OA
О,г
Ванадий JA Ванадий
' 3d3is* \ - Зй'Чз'
\ і,г )
1,0 /
J У /
J І 0,8 у
J - у'
I І, 0,6
/ Эф
- / OA \
о,г -
S\ і і 0 S I I
Фиг. 11.1. Энергетические зоны ванадия, рассчитанные для двух возможных способов выбора кристаллического потенциала U (г). (Из работы [3].) Ванадий имеет о. ц. к. решетку. Зоны изображены вдоль направления [100] от центра до границы зоны Бриллюэна. Атомная структура ванадия — пять электронов над конфигурацией аргона с заполненными оболочками. Показаны зоны, возникающие из 3d- и 4s-ypoBHefl (а также более высокие зоны).
а — результаты расчета с потенциалом U (г), получаемым в предположении конфигурации
3d'4s» для атомного ванадия; б — результаты расчета, основанного на предположении об атомной конфигурации 3d*4«i.
довольно чувствительны к ошибкам в построении потенциала, поэтому часто оказывается, что в конечном счете точность рассчитанной зонной структуры ограничена не трудностями решения уравнения Шредингера (11.1) для заданного U, а проблемой нахождения потенциала. Это хорошо видно из фиг. 11.1.
Подчеркнем также с самого начала, что ни в одном из описанных ниже методов расчеты не удается провести аналитически, за исключением простейших одномерных примеров. Для применения всех этих методов необходимы современные быстродействующие ЭВМ. Прогресс в теоретических расчетах энергетических зон тесно связан с разработкой все больших и более быстрых компьютеров, а на сам выбор используемых рриближений большое влияние оказывает доступность тех или иных вычислительных методов 2).
х) Следует, однако, помнить, что даже самосогласованное решение все еще представляет собой лишь приближенное решение гораздо более сложной задачи многих тел.
2) См., например, сборники [1, 21. Другие методы расчета зонной структуры 256
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ ВАЛЕНТНЫХ ЗОН
Низколежащие уровни ионного остова хорошо описываются волновыми функциями, полученными в приближении сильной связи, поэтому задача вычислительных методов заключается в расчете вышележащих зон (которые могут быть полностью или частично заполненными или же пустыми). В отличие от зон ионного остова с сильной связью такие зоны называют валентными *). Валентные зоны часто оказывают решающее влияние на электронные свойства твердого тела, поскольку электроны на уровнях ионного остова во многих отношениях инертны.
