Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Несмотря на указанный существенный недостаток классического описания, важно, однако, вначале разобраться в классической теории колебаний решетки, а лишь затем переходить к построению квантовой теории. Причина этого заключается в квадратичной форме гамильтониана в гармоническом приближении. Поскольку гамильтониан квадратичен по смещениям и (В.) и импульсам Р (В.), мы имеем здесь частный случай общей классической задачи о малых колебаниях, которая допускает точное решение3). Результат решения заключается в том, что произвольное движение N ионов всегда записывается в виде суперпозиции (или линейной комбинации) ^ нормальных мод колебаний, каждая из которых имеет свою собственную характерную частоту V. Однако один из фундаментальных результатов квантовой теории состоит в том,
г) Действительно, в классической теории при Т-*- 0 гармоническое приближение является асимптотически точным, так как при Т — О (В оо) лишь значения и, соответствующие абсолютному минимуму энергии (т. е. и (Б.)—>- 0), вносят вклад в точный интеграл (22.12). При достаточно малых Т ощутимый вклад вносят лишь близкие к нулю значения и (К). Таким образом, при малых Т точный гамильтониан совпадает со своим гармоническим приближением при всех значениях и, вносящих существенный вклад в этот интеграл. С другой стороны, при очень низких температурах существенный вклад в интеграл (22.16), в котором гамильтониан заменен своим гармоническим приближением, дают также лишь очень малые значения и. Поэтому как в точном интеграле (22.12), так и в гармоническом приближении (22.16) подынтегральные выражения имеют существенное значение при низких температурах, т. е. при тех значениях и (К), при которых они совпадают.
2) Аналогичная проблема возникает в связи с электронным вкладом в удельную теплоемкость металлов, где классический результат {3/2кв на электрон) становится неверным при температурах ниже температуры Ферми.
3) См. любой учебник классической механики.
58
Глава 22
что для осциллятора с частотой V разрешены лишь энергии
(п + V,) Ну, п = 0, 1, 2, . . .
(22.21)
Обобщение этого результата на случай 37У независимых осцилляторов очевидно. Чтобы получить разрешенную энергию системы из ЭТУ осцилляторов, нужно для каждого осциллятора задать некоторое полуцелое число, умножить его на частоту осциллятора и на величину к и сложить затем вклады от всех осцилляторов. В случае гармонического кристалла частоты ЭТУ нормальных мод дают набор частот, пользуясь которым, можно построить затем все энергетические уровни кристалла *).
Поэтому, хотя чисто классическая теория колебаний решетки явно неадекватна, анализ классических нормальных мод колебаний решетки оказывается чрезвычайно важным. Необходимо сначала изучить классические нормальные моды кристалла, лишь затем мы сможем перейти к вопросу об уточнении закона Дюлонга и Пти и к описанию различных других свойств динамической решетки. Изучению классических гармонических кристаллов и посвящена вся остальная часть главы. В подходе к задаче удобно выделить следующие этапы.
1. Нормальные моды одномерной моноатомной решетки Бравэ.
2. Нормальные моды одномерной решетки с базисом.
3. Нормальные моды трехмерной моноатомной решетки Бравэ.
4. Нормальные моды трехмерной решетки с базисом.
В принципе анализ проводится одинаково во всех четырех случаях, однако сложность обозначений в наиболее общем случае (4) способна заслонить важные физические особенности, которые лучше выявляются при рассмотрении более простых случаев.
В заключение главы будет установлена связь между проведенным анализом и классической теорией упругости сплошной среды.
Рассмотрим совокупность ионов массой М, расположенных вдоль прямой в точках, отстоящих друг от друга на расстояние а, так что векторы одномерной решетки Бравэ есть просто К = па, где п — целое число. Пусть и (па) — смещение иона вдоль прямой, отсчитываемое от его равновесного положения; оно описывает колебания иона вблизи точки па (фиг. 22.4). Для простоты предположим, что взаимодействуют лишь соседние ионы; тогда гармоническая потенциальная энергия (22.9) будет иметь вид
где К = ф" (а), а ф (х) — энергия взаимодействия двух ионов, находящихся на расстоянии х вдоль прямой. Уравнения движения таковы:
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МОНОАТОМНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ
(22.22)
71
Ми (па) =
дГ/пагт
= — К[2и(па)~и([п — 1]а) — и([п + 1]а)]. (22.23)
ди (па)
1) Мы дадим более точную формулировку в начале гл. 23. В сжатом виде подробное квантовомеханическое доказательство приведено в приложении М.
Классическая теория гармонического кристалла
59
В точности такой же вид имели бы уравнения, если бы каждый ион был связан со своими двумя соседями идеальными невесомыми пружинками с жесткостью К (и равновесной длиной а, хотя в действительности равновесная длина
(л-4)а (п-З)а (п-2)и {п-1)а па (п+1)а (п+2)а (п+3)а (л + 4)а
•@ • © • © • © • © *@ «е • ©•
I I *] р | I
и (лес)
Фиг. 22.4. В произвольно выбранный момент времени ион, равновесное положение которого есть па, оказывается смещенным от этого положения на расстояние и (па).
