Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы лучше разобраться в свойствах двух ветвей, рассмотрим подробнее несколько частных случаев.
Случай 1. к <^ я/а. Здесь cos ка да 1 — (ка)2/2 и в первом порядке по к корни дисперсионного уравнения таковы:
со = |/ 2(KMrG) -0(ка)', (22.39)
* = V 2M(K + G) <fcfl>- (22-4°)
Когда значение к очень мало, соотношение (22.38) сводится к равенству е2 = = + ег. Нижний знак отвечает акустической моде, т. е. такому движению, при
а
6
Фиг. 22.11. Длинноволновые акустическая (а) и оптическая (б) моды в двухатомной линейной цепочке.
Элементарная ячейка содержит два иона, соединенных пружинкой К, которая изображена ломаной линией. В обоих случаях характер движения во всех элементарных ячейках одинаков, однако в акустической моде ионы внутри одной ячейки совершают софазное движение, а в оптической моде их движения сдвинуты
по фазе на 180°.
котором два иона в ячейке движутся в фазе друг с другом (фиг. 22.11). Верхний знак отвечает высокочастотной оптической моде, т. е. такому движению, когда два атома в ячейке движутся со сдвигом по фазе на 180° друг относительно друга.
Случай 2. к = nia. Теперь корни таковы:
<" = |/"-lf-. ^=-82; (22.41)
При к — nia движения в соседних ячейках сдвинуты по фазе на 180°; эти два решения изображены на фиг. 22.12. В обоих случаях происходит растяжение пружинок лишь одного типа. Заметим, что если бы жесткости пружинок двух типов совпадали, то щель между двумя частотами при к — nia отсутствовала бы. Причина этого ясна из фиг. 22.12.
Классическая теория гармонического кристалла 65 Случай 3. К > С В первом порядке по отношению &К имеем
со = |/5[1+°(|-)]' е1да-82; (22.43)
(а = У^-\атЧ2ка\ [1+0 (А)], в1«е2. (22.44)
Частота оптической ветви теперь не зависит от /с в первом порядке по отношению а К и равна колебательной частоте отдельной двухатомной молекулы,
Фиг. 22.12. Акустическая (а) и оптическая (б) моды двухатомной линейной цепочки при к = ± л/а, т. е. на краях зоны Бриллюэна.
Здесь фаза движения изменяется на 180° при переходе от ячейки к ячейке. Однако, как и на фиг. 22.11, в акустической моде ионы внутри каждой ячейки движутся софазно, а в оптической — со сдвигом по фазе на 180°. Обратите внимание, что если бы К- и G-пружинки были одинаковыми, то движение в обоих случаях было бы одним и тем же. Именно поэтому две ветви становятся вырожденными на краях зоны при К = G.
состоящей из двух ионов массой М, соединенных «пружинкой» К. В соответствии с картиной независимых молекулярных колебаний, происходящих в каждой элементарной ячейке, движение атомов в каждой из этих ячеек происходит со сдвигом по фазе на 180° друг относительно друга (в первом порядке по GIK) и имеет одинаковый характер при любой длине волны нормальной моды. Поскольку отношение GIК все же отлично от нуля, эти молекулярные колебания связаны между собой, хотя и очень слабо; в результате зона оптических частот, отвечающая изменению к в пределах первой зоны Бриллюэна, имеет некоторую малую ширину порядка GIК 1).
Акустическая ветвь (22.44) в первом порядке по GIK совпадает с кривой дисперсии для линейной цепочки атомов массой 2М, связанных между собой через слабые G-нружинки [ср. выражения (22.44) и (22.29)]. Это согласуется с соотношением гг = г2 — в каждой ячейке атомы движутся синфазно и сильные isT-пружинки почти не растягиваются.
На анализе этого случая основывается следующая характеристика различия между оптической и акустической ветвями 2), В акустической моде все ионы в элементарной ячейке движутся почти точно в фазе друг с другом как единое целое, и определяющую роль в динамике играет взаимодействие между ячейками. В отличие от этого в оптической моде движение ионов фактически сводится к «молекулярным колебаниям» в отдельных элементарных ячейках, частоты этих колебаний расширяются в зону благодаря взаимодействию между ячейками.
*) Обратите внимание на сходство этого случая с теорией сильной связи для электронных уровней энергии (гл. 10), где слабо связанные атомные энергетические уровни расширяются в узкую зону. В данном случае слабо связанные молекулярные вибрационные уровни расширяются в узкую зону.
2) В общем случае такая простая физическая интерпретация не справедлива.
66
Глава 22
Случаи 4. К = С Фактически здесь мы имеем дело с моноатомной решеткой Бравэ, у которой постоянная решетки равна а/2, и справедлив анализ, проведенный в предыдущем разделе. Тем не менее полезно проанализировать переход к пределу К ->С Это проделано в задаче 3.
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ МОНОАТОМНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ
Теперь рассмотрим произвольный трехмерный гармонический потенциал (22.10). Чтобы не усложнять запись индексами, удобно перейти к матричным обозначениям, представляя величину вида
2^(В)?>^(В-В')^(К') (22.45)
как скалярное произведение вектора и (К) на вектор, получаемый при действии на вектор и (К') матрицы О (К — К'). В этих обозначениях гармонический потенциал (22.10) принимает вид
С/Ьагт = -|-2 и(К) О (В — В') и(В'). (22.46)
влг
При исследовании нормальных мод кристалла полезно воспользоваться некоторыми общими свойствами симметрии, которыми обладают матрицы 0(К — В') независимо от конкретного вида сил, действующих между ионами.
