Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
п т> О
а) Покажите, что закон дисперсии (22.29) теперь принимает вид
^2/2 • (22-90)
т>0
б) Покажите, что вместо закона дисперсии (22.31) в длинноволновом пределе теперь имеет место соотношение
<в=а( 2 т^Кт/Му'Цки (22.91)
т>0
при условии сходимости ряда 2 т2Кт.
в) Покажите, что если Кт = 1/тР (1 < р < 3), а следовательно, ряд расходится, то в пределе длинных волн справедливо соотношение
« сч. ?(р-1>/2. (22.92)
Указание. Теперь уже нельзя пользоваться разложением синуса в (22.90) для малых к, однако в пределе малых к суммирование можно заменить интегрированием.] г) Покажите, что в частном случае р = 3 справедливо соотношение
шс^^/ТТпТ!. (22.93)
2. Двухатомная линейная цепочка
Рассмотрим линейную цепочку, в которой чередуются ионы с массами Мг и Мг, причем существенно лишь взаимодействие между ближайшими соседями.
а) Покажите, что закон дисперсии для нормальных мод имеет вид
ш2 = -^-^—- (М1 + М2± V М\ + М\ + ШхМг сое ко). (22.94)
б) Обсудите форму закона дисперсии и характер нормальных мод в случае Мх Э> Мг.
в) Сравните найденный закон дисперсии в случае Мг « М2 с законом дисперсии (22.29) для моноатомной линейной цепочки.
Классическая теория гармонического кристалла
77
3. Решетка с базисом, рассматриваемая как слабо возмущенная моноатомная решетка Бравэ
Полезно проанализировать закон дисперсии (22.37) для одномерной решетки с базисом в пределе, когда константы связи К и в очень близки друг к другу:
К=К0+А, в=К0~А, Д<Я0. (22.95)
а) Покажите, что при Д = 0 закон дисперсии (22.37) сводится к выражению для моноатомной линейной цепочки с взаимодействием между ближайшими соседями. [Предостережение. Если длина элементарной ячейки для двухатомной цепочки есть а, то при К = (? она переходит в моноатомную цепочку с постоянной решетки а/2, а зона Бриллюэна (—я/в <
< к < я/в) для двухатомной цепочки составляет лишь половину зоны Бриллюэна (—я/(а/2)<
< к < я/(а/2)) для моноатомной цепочки. Поэтому вы должны показать, каким образом две ветви (акустическая и оптическая) в половине зоны сводятся к одной ветви в полной зоне. Чтобы убедительно продемонстрировать такое соответствие, нужно изучить поведение отношения амплитуд (22.38) при Д = 0.]
б) Покажите, что, когда Д Ф 0, но Д <^ К0, закон дисперсии отличается от его вида для моноатомной цепочки лишь в членах порядка (А/К0)2, исключая случай, когда величина | я — ка | имеет порядок А/К0. Покажите, что в последнем случае отклонение закона дисперсии от выражения для моноатомной цепочки линейно по А1К0 х).
4. Поляризация нормальных мод моноатомной решетки Бравэ
а) Покажите, что если вектор к лежит вдоль оси 3-го, 4-го или 6-го порядка, то одна нормальная мода поляризована вдоль к, а две другие вырождены и поляризованы перпендикулярно к.
б) Покажите, что если вектор к лежит в плоскости зеркальной симметрии, то одна нормальная мода поляризована перпендикулярно к, а у двух других векторы поляризации лежат в зеркальной плоскости.
в) Покажите, что если конец вектора к расположен в брэгговской плотности, которая перпендикулярна плоскости зеркальной симметрии, то одна нормальная мода поляризована перпендикулярно брэгговской плоскости, а векторы поляризации двух других лежат в этой плоскости. (Обратите внимание, что в этом случае моды не могут быть строго продольными и строго поперечными, если только вектор к не перпендикулярен брэгговской плоскости.)
Чтобы дать ответ на эти вопросы, требуется учесть, что любая операция, оставляющая неизменным как вектор к, так и сам кристалл, должна переводить одну нормальную моду с волновым вектором к в другую такую моду. В частности, набор трех (ортогональных) векторов поляризации должен быть инвариантен относительно таких операций. Пользуясь этим обстоятельством, следует, однако, помнить, что, когда две нормальные моды вырождены, любой вектор в плоскости, проходящей через их векторы поляризации, сам может представлять собой вектор поляризации.
5. Нормальные моды трехмерного кристалла
Рассмотрим гранецентрированную кубическую моноатомную решетку Бравэ, в которой каждый ион взаимодействует лишь со своими (двенадцатью) ближайшими соседями. Предположим, что взаимодействие между парой соседних ионов описывается парным потенциалом ф, который зависит лишь от расстояния г между этими ионами.
а) Покажите, что частоты трех нормальных мод с волновым вектором к определяются выражением
со= У Х/М,
где X — собственные значения матрицы порядка 3X3:
0 = 2'>т»(1/»к-К)[Л1 + ЯН&]. (22.97) н
Здесь суммирование проводится по двенадцати ближайшим соседям точки И = 0:
¦§-(±*±У>. -|-(±у±?), у(±г±х); (22.98)
*) Обратите внимание на аналогию с моделью почти свободных электронов, изложенную в гл. 9,'— газу свободных электронов соответствует моноатомная линейная цепочка, слабому периодическому потенциалу соответствует малое изменение в силе связи между чередующимися парами ближайших соседей.
(22.96)
78
Глава 22
далее, 1 — единичная матрица = a RR — диада, образованная из единичных
векторов R = R/i? (т. е. (RR)jiv = R^Rv). Постоянные А и В определяются следующим образом: А = 2ф' (d)/d, В — 2 [((>"(d) — ф (d)ld\, где d — равновесное расстояние между ближайшими соседями. [Это следует из Еыражений (22.59) и (22.11).]
