Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
к в
Пользуясь формулой (23.4), нетрудно вычислить плотность тепловой энергии (23.1). Прежде чем перейти к такому вычислению, мы, однако, расскажем о распространенном физическом языке, применяемом при обсуждении возбужденных состояний гармонического кристалла.
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ И ФОНОНЫ
При формулировке результата (23.4) мы придерживались описания в терминах чисел пьв, характеризующих степень возбуждения нормальной моды из ветви я с волновым вектором к. Подобная терминология бывает, однако, очень неудобной, особенно при описании процессов, в которых энергия перераспределяется между нормальными модами или же происходит обмен энергией между системой нормальных мод и другими системами, например электронами, падающими извне нейтронами или рентгеновскими лучами. Обычно вместо того, чтобы говорить о нормальных модах, пользуются эквивалентным корпускулярным описанием, которое аналогично терминологии, применяемой в квантовой теории электромагнитного поля. В этой теории разрешенные энергии нормальной моды поля излучения в резонаторе определяются выражением (п + 1/2) Йсо, где со — частота рассматриваемой моды. Принято, однако, говорить об п не как о квантовом числе, описывающем степень возбуждения этой моды, а как о числе присутствующих фотонов данного типа. Точно так же, вместо того чтобы сказать, что нормальная мода из ветви я с волновым вектором к находится в пкв-м возбужденном состоянии, мы говорим, что в кристалле имеются пкз фононов типа я с волновым вектором к.
Термин «фонон» подчеркивает эту аналогию с фотонами. Последние представляют собой кванты поля излучения, которое (в определенном диапазоне частот) описывает классический свет; первые же есть кванты поля ионных смещений, которое (в определенном диапазоне частот) описывает классический звук. Хотя пользоваться языком фононов удобнее, чем языком нормальных мод, два описания совершенно эквивалентны.
Квантовая теория гармонического кристалла
81
ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ТЕПЛОЕМКОСТИ РЕШЕТКИ
Чтобы вычислить вклад колебаний решетки во внутреннюю энергию, подставим в общую формулу (23.1) явное выражение (23.4) для энергетических уровней. Для облегчения вычислений введем величину
/=41п(2'-РЕ;)- (23-5)
г
Непосредственным дифференцированием выражения (23.5) нетрудно убедиться в справедливости тождества
(23-6)
Чтобы найти /, заметим, что если разложить произведение
Г] (е-РЫо8(к)/2 _|_ е-ЗЭйю6(к)/2 _1_ е-5Рйш5(к)/2 + . , . ^ (23.7)
кв
то каждому значению энергии Е вида (23.4) будет соответствовать в точности один член е~$Е в разложении. Отдельные сомножители в произведении (23.7) представляют собой сходящиеся геометрические прогрессии, суммирование которых дает
/ = ^Пг^в>' (23-8)
к5
Дифференцируя / в соответствии с равенством (23.6), находим плотность внутренней энергии
1-2йв>.(к)[».(Ь) + 4-]. (23-9)
V
кг
где
Сравнение формулы (23.9) для средней плотности тепловой энергии кристалла при температуре Т с формулой (23.4) для энергии в отдельном стационарном состоянии позволяет заключить, что тг8(к) есть среднее значение числа, описывающего степень возбуждения нормальной моды при температуре Т. При использовании представления о фононах величина па(к) дает среднее число фононов типа кя в состоянии теплового равновесия х) при температуре Т.
1) Читатели, знакомые с теорией идеального бозе-газа, заметят, что выражение (23.10) является частным случаем функции распределения Бозе — Эйнштейна и определяет число бозонов с энергией Нъл8 (к), находящихся в тепловом равновесии при температуре Г, если химический потенциал р- равен нулю. Отсутствие свободы в выборе и. связано с тем, что в случае фононов полное число бозонов при тепловом равновесии не служит независимой переменной, которую мы можем задавать по своему усмотрению (что справедливо, например, для атомов Не4), а целиком определяется температурой. [Химический потенциал по определению есть производная по числу частиц N от свободной энергии Р или термодинамического потенциала Гиббса б, т. е. и. = [дР1йМ)т^ = (д&дЩ-р^р. Так как число фононов не сохраняется, оно должно быть определено из условия минимума Р или в, которое совпадает с равенством ц. = 0. Из этого вывода видно, что равенство нулю химического потенциала есть общее свойство всех квазичастиц.— Прим. ред.]
82
Глава 23
Итак, как обобщение простого классического выражения (22.18) для плотности энергии гармонического кристалла получаемх)
к5 к$
При 71 ->0 третье слагаемое обращается в нуль, но в отличие от классического результата (22.18) остается не только энергия иест равновесной конфигурации, но и второе слагаемое, определяющее энергию нулевых колебаний нормальных мод. Вся зависимость и от температуры (а следовательно, и весь вклад в теплоемкость) содержится в третьем слагаемом, изменение которого с температурой гораздо сложнее простой линейной пропорциональности, предсказываемой классической теорией. В квантовой теории гармонического кристалла удельная теплоемкость уже не постоянна, а описывается выражением
г _ 1 V д h&s № m 19\
[ks
которое зависит от конкретного вида спектра частот нормальных мод.
