Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, можно переписать (22.73) следующим образом:
c/harm = _l_ j йг[2ёЛЛ], (22.78)
(Гц TV
где
Cohtv = — g77 2 [-fto-Dnv^t + R^D^Rx-f В„И^Ву + /?llD(rt.flv]. (22.79)
R
Из выражения (22.79) и симметрии (22.50) матрицы D видно, что коэффициенты canxv инвариантны относительно перестановки а\х -«->- xv. Кролю того, из (22.79) непосредственно следует, что коэффициенты c0(iTV инвариантны относительно перестановок ст-<->-и. или т -«->• v. В результате число независимых компонент тензора cauTV уменьшается до 21.
УЧЕТ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ
В зависимости от типа кристаллической системы можно произвести дальнейшее понижение числа независимых упругих постоянных *). Максимальное их число, необходимое для каждой из семи кристаллических систем, указано в табл. 22.1. В случае кубических кристаллов, например, имеются только три независимые компоненты:
Си = ^хххх = СУУУУ
с12 ~сххуу — суугг " С Z2XX1
С44 ~Схуху = Сугуг ^ZXZX'
Все другие компоненты тензора (в которых х, у и ъ входят в качестве индексов нечетное число раз) обращаются в нуль, поскольку энергия кубического кристалла не должна изменяться при обращении знака одной из компонент поля смещения вдоль кубических осей.
) См., например, книгу [14].
74
Глава 22
Таблица 22.1
Число
Кристаллическая система Точечные группы упругих
постоянных
Трпклннная Все 21
Моноклинная Все 13
Ромбическая Все 9
Тетрагональная 7
С
Ромбоэдр ичоская С3, 56 7
6
Гексагональная Все 5
Кубическая Все 3
К сожалению, язык, на котором обычно излагается теория упругости, не использует полностью все преимущества простых тензорных обозначений. В частности, поле смещений обычно описывают не тензором деформаций (22.77), а компонентами деформаций:
оГ , (22-80)
из которых в свою очередь строят величины еа, а = 1, . . ., 6, пользуясь правилом
хх —>-1, уу ->2, гг -*-3, г/г-»-4, га:-»-5, яг/ ->6. (22.81)
Вместо выражения (22.78) записывают
^ = Т2 { йге*СЛ (22.82^
ар1
где элементы матрицы С порядка 6x6 связаны с компонентами тензора сац™ следующими соотношениями:
Са& = Соцх\, (22.83)
где
Величины Сар называют модулями упругости (или постоянными упругой жесткости). Элементы матрицы 5 порядка 6x6, обратной к матрице С, называют упругими постоянными (или постоянными упругой податливости).
Записав плотность потенциальной энергии в форме (22.78), сделаем следующий шаг в построении макроскопической теории упругости — получим волновое уравнение для поля и (г, I). Изящнее всего это можно сделать, заметив, что кинетическую энергию, отвечающую данному полю деформаций и (г), можно представить в виде
Т
= р $ с/г-|. и2 (г, і), (22.84)
Число независимых упругих постоянных
Классическая теория гармонического кристалла Упругие постоянные ряда кубических кристаллов а)
75
Вещество Си С12 Си Литература
и (78 К) 0,148 0,125 0,108 [4]
0,070 0,061 0,045 [5]
Си 1,68 1,21 0,75 [6]
Ag 1,24 0,93 0,46 [6]
Аи 1,86 1,57 0,42 [6]
А1 1,07 0,61 0,28 П
РЬ 0,46 0,39 0,144 [8]
ве 1,29 0,48 0,67 [41
81 1,66 0,64 0,80 [6]
V 2,29 1,19 0,43 [91
Та 2,67 1,61 0,82 [9]
1ЧЬ 2,47 1,35 0,287 [9]
2,34 1,36 1,18 [10]
№ 2,45 1,40 1,25 [И]
ЫС1 0,494 0,228 0,246 [12]
КаС1 0,487 0,124 0,126 [12]
КГ 0,656 0,146 0,125 [12]
КЬС1 0,361 0,062 0,047 [131
а) Указаны значения упругих постоянных в единицах 1012 дин-см-2 при 300 К.
где р — плотность массы в решетке: р = МЫ1У. Тогда для рассматриваемой среды мы можем записать лагранжиан вида
~ Т 2 ^ («и (г) + «оКг) (г) + ^- ц, (,)) ]. (22.85)
ах
Из принципа Гамильтона
б .'с/7 /, 0
следуют в этом случае уравнения движения *)
^=2^^. (22.86)
ovт
Если их решение искать в форме
и (г, *) = ее«к•'-»'>, ¦ (22.87)
*) Конечно, эти уравнения можно получить также более элементарным и наглядным способом, рассматривая силы, действующие на малый элемент объема. Преимущества лагран-жева вывода становятся очевидными лишь при использовании тензорных обозначений.
Таблица 22.2
76
Глава 22
то частота со оказывается связанной с величиной к уравнением на собственные значения:
Р»2ец = 2 (2 с^хКК) 8х- (22.88)
Оно имеет такую же структуру, как и уравнения (22.65) и (22.66), полученные в пределе больших длин волн в общей теории гармонического кристалла [воспользовавшись выражением (22.79), можно показать, что оно тождественно совпадает с указанными уравнениями]. Итак, в пределе больших длин волн нормальные моды дискретного кристалла переходят в звуковые волны сплошной среды. Это означает также, что, измеряя скорости звука в твердом теле, мы можем получить информацию о его силовых постоянных, пользуясь уравнением (22.88) и микроскопическим определением (22.79) коэффициентов сом,хг.
В табл. 22.2 приведены упругие постоянные для некоторых типичных кубических твердых тел.
ЗАДАЧИ
1. Линейная цепочка со взаимодействием между т ближайшими соседями.
Заново рассмотрите теорию линейной цепочки, не делая предположения о том, что взаимодействуют лишь ближайшие соседи, и пользуясь вместо (22.22) выражением
С/пагт=2 2 \кт[и(па)-и([п+т]а)\К (22.89)
