Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела" -> 59

Физика твердого тела - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела — М.: Мир, 1979. — 486 c.
Скачать (прямая ссылка): fiztverdtela1979i.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 224 >> Следующая

б — спектр, заменяющий кривые, приведенные на фиг. а, при расчете интеграла (23.15). Акустические ветви заменяются прямыми, неограниченно продолжающимися в область произвольно больших значений й (т. е. интегрирование по первой зоне Бриллюэна заменяется интегрированием по всему й-пространству); оптическими ветвями при этом пренебрегают. Такие упрощения оправданы, поскольку большие по сравнению с йд Т/Й частоты (части дисперсионных кривых на фиг. а и б, лежащие выше горизонтальной штриховой линии) вносят пренебрежимо малый вклад в интеграл (23.15), а части дисперсионных кривых, отвечающие модам, которые действительно вносят вклад в величину (23.15) (участки кривых ниже горизонтальной штриховой линии), на фиг. а и б совпадают.
зуемся сферической системой координат, полагая сйк = к2 йк сКі. Если сделать замену переменных рйс8(к) к = х в интегрировании по к, то интеграл (23.16) запишется следующим образом:
д (квТ)* 3 Г х*йх 0— дТ (Не)» 2я.2 } е* — 1 ' (Ю.И)
О
где величина 1/с3 — обратная третья степень длинноволновой фазовой скорости, усредненной по телесному углу и трем акустическим модам:
Определенный интеграл в (23.17) можно вычислить, записав *)
СО ОО СО со
1 ¦?=!-= 3 1 А-Лг-б-З §. (23.19)
О п=1 0 п=1
*) См. также т. 1, приложение В, формулы (В. 11) — (В. 13).
Квантовая теория гармонического кристалла
85
Поэтому при очень низких температурах имеем х)
_ д я«(*вГ)« _2я* к ,квТ\» (23 20)
Соотношение (23.20) можно проверить, сравнив измеряемую удельную теплоемкость при низких температурах со значениями, найденными по наблюдаемым в эксперименте упругим постоянным, прямо связанным с фазовыми скоростями, входящими в определение (23.18) величины с. Так, например, для щелочно-галоидных кристаллов получаемое расхождение оказывается меньше экспериментальной ошибки измерения (составляющей обычно около 1%) 2).
Для справедливости формулы (23.20) необходимо, чтобы величина квТ/Н была мала по сравнению со всеми частотами фононов, не лежащими на линейном участке спектра; отсюда следует, что величина квТ/Н должна составлять малую долю характерной частоты на границах зоны. Для выполнения подобного условия температура Т должна быть значительно ниже комнатной. Так как при уменьшении температуры ниже комнатной закон Дюлонга и Пти начинает нарушаться, существует достаточно широкая область температур, в которой не применимы ни низкотемпературный, ни высокотемпературный расчеты, а следует использовать общую формулу (23.15). На практике, однако, в этой промежуточной области температур часто используют интерполяционные методы.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ. МОДЕЛИ ДЕБАЯ И ЭЙНШТЕЙНА
В самых первых квантовых расчетах теплоемкости решетки, проведенных Эйнштейном и Дебаем, не использовался спектр фононов в его общем виде, рассмотренном выше, а предполагалось, что закон дисперсии нормальных мод имеет некоторую особенно простую форму. Результаты этих расчетов, построенных на грубой аппроксимации закона дисперсии нормальных мод, используются теперь в качестве интерполяционных формул. Кроме того, теория Дебая оказала значительное влияние на принятую терминологию и определила даже способ представления экспериментальных данных.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ СХЕМА ДЕБАЯ
В модели Дебая все ветви колебательного спектра заменяются тремя ветвями с одним и тем же линейным законом дисперсии 3)
со = ск. (23.21)
Кроме того, в формуле (23.15) вместо интеграла по первой зоне Бриллюэна берется интеграл по сфере радиусом к в, выбираемым так, чтобы эта сфера содержала ровно N разрешенных волновых векторов, где N — число ионов в кри-
*) Вновь подчеркнем, что данный результат становится асимптотически точным (в гармоническом приближении) при Г-»- 0, т. е. его можно представить в форме равенства
Т3 5 П»с* • ,
2) См. работу Льюиса и др. [1].
3) Если мы имеем дело с решеткой, обладающей полиатомным базисом, замена Зр ветвей фононного спектра всего тремя ветвями (23.21) компенсируется тем, что объем сферы Дебая выбирается так, чтобы он в р раз превышал объем первой зоны Бриллюэна. Подробнее этот вопрос будет рассмотрен при обсуждении модели Эйнштейна.
86
Глава 23
сталле. Поскольку объем ^-пространства, приходящийся на один волновой вектор, равен (2я) 3/У (см. т. 1, стр. 50), это означает, что величина (2я)3 Ы1У должна равняться 4л/сд/3 и, следовательно, кв определяется соотношением1)
п =
6яа
После этих упрощений формула (23.15) приобретает вид
__д_ЪПс_ С к3 dk Св~ дТ 2я2 J eP^ft_1-0
(23.22)
(23.23)
При вычислении интеграла в (23.23) удобно определить дебаевскую частоту
(23.24)
сод == kDc
и дебаевскую температуру
kBQD = ЙсОд = hckD.
(23.25)
Легко видеть, что ко характеризует среднее расстояние между частицами в кристалле, частота со 0 имеет порядок максимальной частоты фононов, а в 0 представляет собой характерную температуру; выше нее возбуждены все моды, а ниже некоторые моды начинают «вымерзать» 2).
Произведем замену переменных Нск/квТ = х; тогда в формулу (23.23) будет входить лиш . дебаевская температура:
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 224 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed