Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ряд общих свойств теплоемкости (23.12) виден из анализа двух предельных случаев, к рассмотрению которых мы теперь переходим.
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Когда отношение квТ1Н велико по сравнению со всеми частотами фононов (т. е. когда каждая нормальная мода находится в сильно возбужденном состоянии), показатель экспоненты для каждого из слагаемых в (23.12) мал и можно воспользоваться разложением
1 1 Г л Т і х
Л(0
7[1-Т + -Й + 0^3)]-
квТ
(23.13)
Если оставить лишь лервый член в этом разложении, то все слагаемые в (23.12) оказываются одинаковыми и равными квТ\ удельная теплоемкость равна тогда произведению постоянной кв на суммарную плотность нормальных мод ЗА/У. Это классический закон Дюлонга и Пти (22.19).
Следующие члены в разложении (23.13) дают высокотемпературные квантовые поправки к закону Дюлонга и Пти. Линейный по х член (в квадратных скобках) приводит к не зависящему от температуры слагаемому в тепловой энергии (которое в точности равно взятой со знаком минус энергии нулевых колебаний) и поэтому не влияет на величину теплоемкости. Главная поправка, таким образом, обусловлена квадратичным по х членом в квадратных скобках. При подстановке в (23.12) он дает следующую поправку к удельной теплоемкости Дюлонга и Пти с„:
Си = с» + Дс0, 4^=-12(^)2 зЗГ^ХСО- (23.14)
г) Для сравнения с формулой (22.18) мы вновь гклвчгли сюда аддитивную постоян-ую — потенциальную энергию статического равновесного распределения.
Квантовая теория гармонического кристалла
83
При температурах, достаточно высоких для справедливости этого результата, важную роль могут играть не учтенные в формуле Дюлонга и Пти поправки, обусловленные энгармонизмом х); они маскируют квантовую поправ-
Чтобы провести более общее обсуждение теплоемкости, заметим прежде всего, что в пределе большого кристалла набор дискретных векторов, по которому ведется суммирование в выражении (23.12), становится плотным в масштабе тех характерных расстояний в /с-пространстве, на которых слагаемые в (23.12) испытывают существенные изменения. Поэтому мы можем заменить сумму интегралом, поступая согласно общему правилу (2.29) для произвольного набора волновых векторов, удовлетворяющих граничным условиям Бор-на — Кармана, и записать выражение (23.12) в виде
причем интегрировать следует по первой зоне Бриллюэна.
При очень низких температурах моды с частотами Йсо8(к) ^> квТ дают пренебрежимо малый вклад в величину (23.15), так как при этом условии подынтегральное выражение экспоненциально стремится к нулю. Однако поскольку в трех акустических ветвях со8 (к) —>-0 при к -*-0, то, какой бы низкой ни была температура, указанное условие всегда нарушается для акустических мод с достаточно большими длинами волн. Такие моды (и только они) по-прежнему вносят существенный вклад в теплоемкость. С учетом сказанного в формуле (23.15) можно провести ряд упрощений; возникающая при этом ошибка исчезающе мала в пределе низких температур.
1. Даже для кристалла с полиатомным базисом в сумме по в можно не учитывать оптические моды, поскольку их частоты ограничены снизу 3).
2. Точный закон дисперсии трех акустических ветвей со = со, (к) можно заменить его предельной формой (22.65) для больших длин волн, т. е. считать со = с8 (к) к. Это допустимо, когда величина квТ1% гораздо меньше характерной частоты, при которой кривые дисперсии трех акустических ветвей начинают значительно отличаться от прямых линий, соответствующих длинноволновому пределу.
3. Интегрирование по первой зоне Бриллюэна в /с-пространстве можно заменить интегрированием по всему /с-пространству. Это связано с тем, что подынтегральное выражение пренебрежимо мало при всех значениях Нсе (к) к, за исключением значений меньше и порядка квТ, а при низких температурах данное условие выполняется лишь непосредственно вблизи точки к = 0.
Три перечисленных упрощения поясняются на фиг. 23.1.
2) См. замечание 2 на стр. 57 и последующее обсуждение.
2) Действительно, при столь высоких температурах реальные кристаллы вполне могут расплавиться, а это крайняя форма ангармонического поведения.
3) При определенных особых условиях (обычно связанных с приближающейся перестройкой кристаллической структуры) оптическая ветвь может опуститься почти до нулевой частоты (превращаясь в так называемую «мягкую моду»). Когда это происходит, такая оптическая ветвь дает дополнительный вклад в низкотемпературную теплоемкость.
ку (23.14) 2).
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ
(23.15)
84
Глава 23
С учетом этих упрощений при очень низких температурах выражение (23.15) принимает вид
е' = 4г2\т^Г '"СЛ?)" , (23-16)
в е в а —1
где интеграл берется по всему ^-пространству. Для его вычисления восполь-
Фиг. 23.1. Упрощения, используемые для расчета низкотемпературной удельной теплоемкости гармонического кристалла.
а — типичные кривые дисперсии нормальных мод двухатомного кристалла вдоль некоторого направления в й-пространстве (имеющего достаточно высокую симметрию, поскольку две акустические и две оптические моды вырождены).
