Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
то можно показать, что векторы поляризации удается выбрать таким образом,
ш(к)
Фиг. 22.14. Типичные дисперсионные кривые вдоль произвольного направления в &-про-
странстве для решетки с двухатомным базисом.
Три нижние кривые (акустические ветви) линейны по к при малых к. Три верхние кривые (оптические ветви) были бы совсем горизонтальными, если бы взаимодействие внутри ячеек намного превышало взаимодействие между ячейками. Заметим, что направление вектора к не является направлением высокой симметрии, поэтому вырождение отсутствует.
чтобы выполнялось Зр обобщенных соотношений ортогональности:
3 еГ(к).8Ик)АГг = 8«., (22.68)
1=1
где МI — масса базисного иона 1-го типа. В общем случае векторы поляризации могут и не быть действительными 1), а соотношения ортогональности (22.68) могут и не допускать простого геометрического истолкования.
СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ УПРУГОСТИ
В классической теории упругости пренебрегают микроскопической атомной структурой твердого тела и рассматривают его как непрерывную среду. Произвольная деформация твердого тела описывается непрерывным полем смещений и (г), определяющим вектор смещения элемента твердого тела, который в равновесии занимал положение г. Фундаментальное допущение теории состоит в том, что вклад в плотность энергии твердого тела в точке г зависит лишь от значения и (г) непосредственно вблизи точки г или, точнее, лишь от величины первых производных функции и(г) в этой точке.
Континуальную теорию упругости можно построить, исходя из теории колебаний решетки, если рассматривать лишь такие деформации решетки, характерный масштаб пространственного изменения которых велик по сравнению с радиусом действия межионных сил. Следует также предположить, что смещение базисных ионов в любой элементарной ячейке целиком задается указанием векторного поля и (г), характеризующего смещение всей ячейки.
г) Это означает, что смещения вдоль перпендикулярных направлений в такой нормальной моде происходят не в фазе и мода имеет эллиптическую поляризацию.
72
Глава 22
Для простоты мы ограничимся рассмотрением моноатомных решеток Бравэ, где такое предположение, очевидно, всегда выполняется.
Переходя к выводу классической теории упругости, заметим вначале, что в силу свойств симметрии (22.49) и (22.51) потенциальную гармоническую энергию (22.10) можно записать в виде
С/Ьагт=--|-2 {и(К')-и(К)}0(К-К'){и(К')-и(К)}- (22.69)
Мы рассматриваем лишь смещения и(11), очень мало изменяющиеся от ячейки к ячейке. Поэтому можно рассматривать гладкую непрерывную функцию и(г), которая равна и(К) для всех точек г, совпадающих с узлами решетки Бравэ. Если функция и(г) мало меняется на расстояниях, характерных для матрицы О (К — К')> т0 прекрасной аппроксимацией (становящейся точной в пределе возмущений с очень большой длиной волны) служит функция
и(К') = и(К) + (К'-К)-Уи(г)|г.к, (22.70)
с помощью которой из (22.69) получаем
^ = 4- 3 (^МК))(^МК))^. (22.71)
Величины Еа[1Ту, образующие тензор четвертого ранга, следующим образом связаны с элементами матрицы О *):
Ео^ = - 4" 3 Я*0»* (К) В- С22-72)
Поскольку функция и(И) меняется плавно, в том же приближении мы можем записать выражение (22.71) в форме интеграла:
^агга = 4-2$ *г(-^иАг))(-^иАг))Ё^, (22.73)
ах
где
Eay.iv — ~ Еацху, (22.74)
а и — объем элементарной ячейки.
Выражение (22.73) служит исходным пунктом для построения классической теории упругости. Мы пойдем несколько дальше и определим свойства симметрии тензора Еа11ХУ, используемые в этой теории.
Прежде всего заметим, что, как сразу же следует из формул (22.72) и (22.50), величина Еа11Х^ не меняется при замене ([х ¦«-> V) или замене (о -«-*¦ т). Поэтому достаточно задать значения Еа^хь при шести значениях
хх, уу, гг, уг, гх, ху (22.75)
пары индексов цд> и тех же шести значениях пары индексов от. Это означает, что для задания энергии кристалла при данной деформации достаточно 6x6 =
х) Очевидно, вся наша теория имеет смысл, лишь если О(Л) при больших В достаточно быстро стремится к нулю, чтобы сумма в формуле (22.72) была сходящейся. Это выполняется тривиально, когда матрица 0(11) равна нулю для расстояний Я, превышающих некоторое значение /?0, но справедливо также и для «дальнодействующих» коэффициентов 0(11), если они спадают с расстоянием быстрее, чем 1/Я5.
Классическая теория гармонического кристалла
73
= 36 независимых величин. Приводимое ниже общее рассуждение позволяет уменьшить их число до 21; дальнейшего уменьшения можно достичь, воспользовавшись конкретными свойствами симметрии рассматриваемого кристалла.
ДАЛЬНЕЙШЕЕ УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ
Энергия кристалла не меняется при жестком его повороте. Однако после поворота на бесконечно малый угол бсо вокруг оси п, проходящей через начало отсчета, каждый вектор решетки Бравэ смещается на величину
u(R) = бсо X R, бсо = бсоп. (22.76)
Подставляя выражение (22.76) в формулу (22.71), мы должны получить, что [/harm = о при любом выборе бсо. Как нетрудно показать, это означает, что [/harm может зависеть от производных (д/дх^и^ лишь через их симметричную комбинацию (тензор деформаций):
