Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
пружинки не входит в уравнения). Результирующее движение легче всего представлять себе именно с помощью этой модели (фиг. 22.5).
Если число ионов N в цепочке конечно, необходимо указать, как следует описывать ионы на двух ее концах. Можно было бы считать, что они взаимодействуют лишь со своими соседями с внутренней стороны, но это усложнило
Фиг. 22.5. Если учитываются лишь силы между ближайшими соседями, то гармоническое приближение, используемое для одномерной решетки Бравэ, соответствует модели, в которой каждый из ионов связан идеальными пружинками со своими соседями.
бы анализ, не изменив существенно окончательные результаты. Если число N велико и если нас не интересуют эффекты, происходящие на концах цепочки, точный вид описания ионов, расположенных на ее концах, несуществен, и мы
Фиг. 22.6. Граничное условие Борна — Кармана (или периодическое условие) для линейной
цепочки.
можем воспользоваться таким подходом, который дает наибольшие математические преимущества. Как и в случае электронного газа (гл. 2), удобнее всего выбрать периодические граничные условия Борна — Кармана. Для линейной цепочки ионов это граничное условие допускает простую формулировку: мы соединяем два противоположных конца цепочки с помощью еще одной такой же «пружинки», как и те, которые соединяют ионы внутри цепочки (фиг.] 22.6).
60
Глава 22
Если считать, что ионы занимают узлы а, 2а, . . ., Na, то для описания каждого из N ионов можно использовать уравнение (22.23) (полагая п = 1, 2, ... . . ., N) — для этого мы должны только принять, что величины и ([N -f 1] а) я и (0), входящие в уравнения движения для и (Na) и и (а), удовлетворяют равенствам х)
и ([N + 1] а) = и (а); и (0) = и (Na). (22.24)
Будем искать решения уравнений (22.23) в виде
и (па, t) ~ e,'<*na-m<>. (22.25)
Тогда из периодического граничного условия (22.24) вытекает требование
е«*« = 1, (22.26)
откуда в свою очередь следует, что величина к должна иметь следующий вид:
к — , п — целое число. (22.27)
Заметим, что при изменении к на 2л/а смещение и (па), определяемое выражением (22.25), не меняется. Следовательно, имеется лишь N значений к, согласующихся с требованием (22.27) и дающих физически различные решения. Будем считать, что эти значения лежат между —я/а и nia 2). Подставляя (22.25) в (22.23), находим
— Л/соМ<йпа_с0'> = —К[2 — e'ika — eiha] е^кпа~ш> = — 2К (1 — cos ка) е«*™-<о< )
(22.28)
поэтому при заданном к решение существует, если со = со (к), где
«<*)=]/ М(1-со,*«) = 2 /А | sin i- ка I. (22.29)
Решения, описывающие реальные смещения ионов, даются действительной или мнимой частью выражения (22.25):
. . f cos (кпа — cof), и (па, t)~ \ . \ ;' (22.30)
[ sm (кпа — Ш).
*) Альтернативная интерпретация граничного условия Борна — Кармана состоит в том, что рассматривается не сгибание цепочки в петлю, а включение жесткой механической связи, заставляющей ион N взаимодействовать с ионом 1 через пружинку с жестко-
•Tlnгv^гnгv^rlRГ^
Фиг. 22.7. Другой способ представления граничного условия Борна — Кармана. Крайний ион слева связан с крайней пружинкой справа невесомым жестким стержнем длиной X, = ^а.
стью К (фиг. 22.7). Такое представление, возможно, более удобно при интерпретации граничных условий в трехмерном случае; о нем особенно полезно помнить при рассмотрении вопросов, касающихся полного импульса кристалла конечных размеров или же вопроса о том, почему кристалл имеет данные равновесные размеры.
2) Так в одномерном случае выглядит требование, что вектор к должен лежать в первой зоне Бриллюэна (гл. 8).
Классическая теория гармонического кристалла
61
Поскольку со — четная функция к, достаточно взять лишь положительный корень в (22.29): решения (22.30), определяемые значениями к и —со (к), совпадают с решениями, определяемыми значениями —к и со (к) = со (—к). Таким образом, мы имеем N различных значений к, каждое со своей частотой со (к); следовательно, формула (22.30) дает 2И независимых решений *). Произвольное движение цепочки задается указанием N начальных положений и N началь-
на М
к
Фиг. 22.8. Дисперсионная кривая для моноатомной линейной цепочки с взаимодействием
только между ближайшими соседями.
Обратите внимание, что частота <в линейно зависит от h при малых к и что ва/вк обращается в нуль на
границах зоны (й = ±л/а).
ных скоростей ионов. Поскольку начальным условиям всегда можно удовлетворить, выбрав подходящую линейную комбинацию из 2N независимых решений (22.30), мы нашли полное решение задачи.
Решения (22.30) описывают волны, распространяющиеся вдоль цепочки с фазовой скоростью с = а/к и групповой скоростью v = да/дк. Частота со как функция от волнового вектора к изображена на фиг. 22.8. Такую кривую называют дисперсионной. Когда значение к мало по сравнению с я/а (т. е. когда длина волны велика по сравнению с расстоянием между частицами), частота со линейно зависит от к:
ш = (а]/~ (22.31)
С подобным поведением мы знакомы на примере световых волн и обычного звука. Если частота со линейна по к, то групповая скорость совпадает с фазовой и обе они не зависят от частоты. Одна из характерных особенностей волн в дискретных средах заключается, однако, в том, что линейный закон дисперсии перестает соблюдаться при длинах волн, сравнимых с расстоянием между частицами. В данном случае со «отстает» от ск с ростом /сив действительности в точках к = ±п/а дисперсионная кривая оказывается горизонтальной (т. е. групповая скорость падает до нуля).
