Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
sin2 (V2k • R) да (V2k • R)2; (22.63)
тогда
D(k)« -4-2fk'R)2D(R), k = 4- (22-64)
R
x) Можно показать, что если хотя бы одно из собственных значений матрицы D (к) оказывается отрицательным, то существует такое пространственное расположение ионов, для которого энергия [/harm отрицательна, а это противоречит предположению, что Г/е<1 является минимальной энергией. Следовательно, частоты cos (к) действительны. Как и в одномерном случае, достаточно взять лишь положительный квадратный корень в формуле (22.62).
2) Если взаимодействие не спадает достаточно быстро с расстоянием, такая процедура может оказаться неверной. Достаточным условием ее применимости является сходимость ряда
2 R2° (R)'
R
которая гарантирована в трехмерном случае, если D(R) убывает с расстоянием быстрее, чем l/i?B (см. примечание 1 на стр. 62).
Фиг. 22.13. Типичные дисперсионные кривые (а) для частот нормальных мод в моноатомной г.ц.к. решетке Брава свинца, изображенные в схеме повторяющихся зон вдоль линий, являющихся сторонами заштрихованного треугольника (б). (По работе [2].) Обратите внимание, что в направлении [100] две поперечные ветви вырождены.
Следовательно, в длинноволновом пределе (при малых к) можно записать
о>,(к) = с,(к)Л, (22.65)
где с„ (к) — квадратные корни из собственных значений матрицы:
-^-2(к-К)20(К). (22.66)
Заметим, что в общем случае коэффициенты св зависят как от направления к, в котором распространяется волна, так и от номера ветви «.
Типичные дисперсионные кривые для трехмерной моноатомной решетки Бравэ показаны на фиг. 22.13.
70
Глава 22
В трехмерном случае важно изучить не только поведение частот со, (к), но и соотношения между направлениями векторов поляризации 88 (к) и направлением распространения к. В изотропной среде при заданном направлении к всегда можно выбрать три решения таким образом, чтобы одна ветвь (продольная) была поляризована вдоль направления распространения (е || к), а две другие ветви (поперечные) — перпендикулярно этому направлению (е _[_ к).
В анизотропном кристалле векторы поляризации могут и не быть столь просто связаны с направлением к распространения волны, если только это направление не инвариантно относительно определенных операций симметрии кристалла. Если, например, вектор к лежит вдоль оси 3-го, 4-го или б-го порядка, то одна мода будет поляризована в направлении к, а две другие — перпендикулярно ему (и вырождены по частоте) 1). Тогда можно по-прежнему использовать терминологию, относящуюся к изотропной среде, и говорить о продольных и поперечных ветвях. В кристаллах с высокой степенью симметрии (например, в кубических) таких симметричных направлений набирается довольно много. Векторы поляризации непрерывно зависят от к, поэтому у ветви, являющейся продольной, когда вектор к направлен по оси симметрии, обычно вектор поляризации почти параллелен вектору к, даже когда последний не направлен по оси симметрии. Аналогично ветви, являющиеся поперечными, когда вектор к направлен по оси симметрии, поляризованы почти точно в плоскости, перпендикулярной к, даже если вектор к направлен произвольным образом. Поэтому продолжают говорить о продольных и поперечных ветвях, хотя в действительности они являются строго продольными и поперечными лишь при определенных направлениях вектора к.
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ
Расчет для трехмерной решетки с базисом не настолько существенно отличается от уже проделанного, чтобы повторять его заново. Как и в одномерном случае, главный эффект введения полиатомного базиса состоит в появлении оптических ветвей. Описание их сопряжено с использованием более громоздких обозначений, поскольку приходится вводить еще один индекс, указывающий, о каком ионе базиса идет речь. Основные результаты анализа сводятся к очевидным обобщениям уже рассмотренных случаев.
Для каждого значения к имеется Зр нормальных мод, где р — число ионов в базисе. Частоты со, (к) (я = 1, . . ., Зр) являются функциями к и обладают периодичностью обратной решетки; это согласуется с тем фактом, что плоские волны, волновые векторы к которых отличаются на вектор К обратной решетки, описывают одинаковые волны в решетке.
Три из Зр ветвей — акустические; они описывают колебания, частоты которых линейно стремятся к нулю с уменьшением к в пределе больших длин волн. Остальные 3 (р — 1) ветвей — оптические; их частоты не обращаются в нуль в длинноволновом пределе. Эти моды можно рассматривать как обобщение на случай кристалла трех трансляционных и 3 (р — 1) колебательных степеней свободы р-атомной молекулы. Типичные дисперсионные кривые для р = 2 показаны на фиг. 22.14.
Векторы поляризации нормальных мод уже не связаны простыми соотношениями ортогональности типа (22.61). Если в нормальной моде я смещение
-1) См. задачу 4. Обратите, однако, внимание, что три вектора поляризации остаются взаимно ортогональными при любых направлениях вектора к [см. формулу (22.61)].
Классическая теория гармонического кристалла
71
иона і в ячейке с центром в точке К имеет вид
и* (К, г) = Бе [е\ (к) е*с-»-ш.<")«)], (22.67)
