Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ашкрофт Н. -> "Физика твердого тела" -> 46

Физика твердого тела - Ашкрофт Н.

Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела — М.: Мир, 1979. — 486 c.
Скачать (прямая ссылка): fiztverdtela1979i.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 224 >> Следующая

Классическая теория гармонического кристалла 55
| <1Ге-№= | ЙГехр[-р (2^- + С/еч + С/11агт)] = = е-Р?7едр-3№ 11 д й- (К) ар (К) х
х ехР [ - 2 Ш р2 (К) - Т З (К) А- (К - К') «V (К') ] } . (22.16)
Весь интеграл в фигурных скобках в (22.16) не зависит от температуры и потому не дает вклада в производную по р после подстановки выражения (22.16) в формулу (22.14). Тепловая энергия, таким образом, имеет вид
„ = 1п (е-Р^р-»* х сопзі) =
= 2?- + ™квТ (22.17)
или *)
и = ие* + ЗпквТ. (22.18)
Заметим, что при Т = О это равенство сводится к результату и = иеч, получаемому в теории статической решетки (как и следует ожидать от классической теории, в которой пренебрегают нулевым движением). При отличных от нуля температурах к такому «статическому» результату просто добавляется поправка ЪпквТ. Поскольку даже при комнатной температуре величина квТ
*) При необходимости различать число ионов в единице объема и число электронов проводимости в единице объема мы будем пользоваться нижними индексами (nt или пе). В простых металлах пе = Znit где Z — валентность.
нии плотность тепловой энергии кристалла описывается выражением
. *=4--р^« <22Л2)
здесь мы воспользовались компактными обозначениями, в которых <?Г есть элемент объема фазового пространства кристалла:
- Д (к) ^Р (к) = П йи» (К) *Р* (К)- (22 • 13)
И В.,(А
Выражение (22.12) можно записать также в более удобной форме:
и=—1^1П рГе-рн. (22.14)
Это равенство нетрудно проверить, выполнив в нем дифференцирование логарифма.
В гармоническом приближении зависимость интеграла в (22.14) от температуры легко определить, производя замену переменных
и (И) = р~1/2 й (И), с2и (К) = р"3/2 а:й (К),
(22.15)
Р (К) = р~1/2 Р (К), а:Р (К) = р~3/2 о1Р (К). Интеграл в (22.14) можно тогда записать в виде
56
Глава 22
составляет лишь несколько сотых электрон-вольта, обычно эта поправка мала. Гораздо полезнее рассмотреть удельную теплоемкость св = (ди1дТ)„ (которую к тому же намного легче определить экспериментально, чем внутреннюю энергию). Вклад статической решетки в тепловую энергию и выпадает из теплоемкости с„, величина которой полностью определяется зависящей от температуры поправкой *):
с„ = -^г = 3пкв. (22.19)
Этот результат, согласно которому удельная теплоемкость, обусловленная колебаниями ионов (т. е. вся удельная теплоемкость диэлектриков), равна Зкв на один ион, известен как закон Дюлонга и Пти. В моноатомном твердом теле, в котором число ионов на 1 моль равно 6,022-1023, его обычно формулируют в виде 2)
сто1 = 596 кал/моль • К. (22.20)
На фиг. 22.3 изображены измеренные удельные теплоемкости твердых аргона, криптона и ксенона. При температурах порядка 100 К и выше изме-
*) В экспериментах измеряется удельная теплоемкость при постоянном давлении (ср), а мы вычислили удельную теплоемкость при постоянном объеме (с„). В газе их значения существенно отличны, но в твердых телах они могут быть близки друг другу. Это видно из термодинамического тождества: ср/с„ = (дР/д\г)з/{дР/дУ)т- Две удельные теплоемкости различаются в той степени, в какой различны между собой адиабатическая и изотермическая сжимаемости. Поскольку основной вклад во внутреннюю энергию твердого тела дает иеЧ, здесь тепловые эффекты оказывают меньшее влияние на сжимаемость, чем в газах. Если, тем не менее, различие между ср и св оказывается существенным, необходимо комбинировать измерения теплового расширения и сжимаемости с измерением удельной теплоемкости при постоянном объеме; тогда удельную теплоемкость при постоянном объеме можно определить из термодинамического тождества ср — с„ = —Т (д~У/дТ)2р(дР/д~У)т/У.
2) Ав = 1,38-10-1в эрг/К; 4,184-10' эрг=1 кал.
Классическая теория гармонического кристалла
57
ренные теплоемкости довольно близки к значению, определяемому законом Дюлонга и Пти. Однако можно заметить следующее.
1. При понижении температуры теплоемкость падает гораздо ниже значения Дюлонга и Пти, стремясь к нулю при нулевой температуре.
2. Видно, что даже при высоких температурах теплоемкость остается немного меньше значения, даваемого законом Дюлонга и Пти.
Последнее расхождение можно объяснить чисто классически как нарушение гармонического приближения. Согласно классической теории при очень низких температурах тепловой энергии попросту недостаточно, чтобы ион мог сильно удаляться от своего равновесного положения, поэтому при понижении температуры гармоническое приближение становится весьма точным 1). Однако при более высоких температурах ионы обладают достаточной энергией, чтобы сильно отклоняться от своих равновесных положений, и ангармонические члены (члены более высокой степени, чем квадратичные) в разложении 17 по степеням смещений ионов и начинают играть важную роль. Итак, из классической статической механики следует, что закон Дюлонга и Пти не должен идеально выполняться при высоких температурах, но должен выполняться со все большей точностью при понижении температуры.
Таким образом, классическая теория совершенно не может объяснить поведение при низких температурах (замечание 1). Для объяснения низкотемпературной теплоемкости решетки требуется привлечь квантовую теорию. Кроме того, хотя теория динамики решетки, основанная на чисто классических представлениях, и дает хорошие результаты в области высоких температур (порядка 102 К, судя по фиг. 22.3), вряд ли она окажется успешной в широком температурном интервале 2). Поэтому для рассмотрения физических эффектов, связанных с колебаниями решетки, следует обратиться к квантовой теории динамики решетки.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 224 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed