Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если отказаться от предположения, что взаимодействуют лишь ближайшие соседи, то результаты испытывают лишь небольшие изменения. Функциональная зависимость со от к становится более сложной, но по-прежнему существует
*) Хотя имеется 2N решений, существует всего N «нормальных мод», поскольку решение с синусом есть просто решение с косинусом, сдвинутое по времени на л/2ш.
62
Глава 22
TV нормальных мод вида (22.25), отвечающих N разрешенным значениям к. Кроме того, частота со (к) остается линейной по к при к, малых по сравнению с я/а, и удовлетворяет равенству д(о/дк = О при к — ±я/а 1).
НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ
Рассмотрим теперь одномерную решетку Бравэ с двумя ионами в элементарной ячейке 2), равновесные положения которых есть па и па + а". Мы считаем, что оба иона идентичны, но что в, а/2, поэтому сила между соседними
—*1 а-й. Л )«- —Н «г I-*—
• X • X • X • x • x • x • x • x •
па (п + 1)а (п + 2)а (п+3)а (п+4)а {л+5)а (п+6)а (п+7)а
ТЯЯПГ> в-пружина ДЛДЛ К-пружина
Фиг. 22.9. Двухатомная линейная цепочка одинаковых атомов, которые связаны пружинками с чередующейся жесткостью.
ионами зависит от того, равно ли расстояние между ними а1 или же а — о" (фиг. 22.9) 3). Для простоты опять предположим, что взаимодействуют лишь ближайшие соседи, причем сила взаимодействия больше для пар с расстоянием а1, чем для пар с расстоянием а — й (поскольку й меньше, чем а — й). Гармоническую потенциальную энергию (22.9) можно тогда записать в виде
гуьагт^^.^ [щ(па)-щ(па)]2 +^.'%[и9(па)-и1([п + 1]а)]*, (22.32)
п п
где через иг (па) обозначено смещение иона, совершающего колебания вблизи узла па, а через м2 (па) — смещение иона, колеблющегося вблизи узла па -+- а\ Продолжая считать а1 <С а/2, положим К ^ С Запишем уравнения движения: . - , ч ас7папп
Мщ (па) = — -—;—- = 1 4 ' ди1(па)
= — К[щ (па) — и2 (па)} —в [и1 (па) — и2 ([п — 1] а)], (22.33)
Ми2 (па) = — 5—-—г- = " 4 ' ди2 (па)
= — К[и2 (па) — и1 (па)} — (7 [щ (па) — их ([п + 1] а)].
') См. задачу 1. Эти выводы верны, если взаимодействие имеет конечный радиус действия, т. е. если ион взаимодействует только со своими первыми т ближайшими соседями, где т. — фиксированное целое число (не зависящее от АГ). Если взаимодействие имеет бесконечный радиус действия, то, чтобы частоты были линейными по к для малых к, оно должно спадать быстрее, чем куб обратного расстояния между ионами (в одномерном случае).
2) Напомним, что под «злементарной ячейкой»' всюду понимается примитивная элементарная ячейка (см. гл. 4). Если же в действительности речь идет о непримитивной ячейке, это обязательно оговорено особо (например, «условная элементарная ячейка»).— Прим, перев.
3) Столь же полезно рассмотреть случай, когда силы между всеми парами соседних ионов одинаковы, но массы ионов различны и равны поочередно М1 и М2 вдоль цепочки. См. задачу 2.
Классическая теория гармонического кристалла
63
Мы опять ищем решение, представляющее собой волну с частотой со и волновым вектором к:
щ (па) = г&ккпа-ф1\
и2(па) = г2е1(кпа-«>г\ (22.34)
Здесь е1 и е2 — требующие определения постоянные, отношение которых дает относительные амплитуды и фазу колебаний ионов в каждой элементар-
1»Ш 1
! ^— 1
._и [ИГ
V м 1V м
IV м
/а
а
а
Фиг. 22.10. Закон дисперсии для двухатомной линейной цепочки.
Нижняя ветвь — акустическая; она имеет такой же вид, как и единственная ветвь, описывающая закон дисперсии моноатомной цепочки (фиг. 22.8). Кроме нее теперь появляется оптическая (верхняя) ветвь.
ной ячейке. Как и в моноатомном случае, периодическое граничное условие Борна — Кармана вновь приводит к N неэквивалентным значениям к, определяемым формулой (22.27).
Если подставить выражения (22.34) в уравнение (22.33) и сократить общий множитель е<-1кпа~ш'> в обоих уравнениях, то остаются два связанных уравнения:
[Мсо2 ~(К + в)] е4 + (К + ве-Ша) е2 = 0, (К + ОеШа) е, + [М"со2 - (К + С)] е2 = 0.
(22.35)
Эта пара однородных уравнений имеет решение, если обращается в нуль детерминант, составленный из их коэффициентов, т. е. если выполняется условие
[Л/Ъ2-(К + с?)]2 = \К + ее-1ка\2^К2 + в2 + 2К6со8ка. (22.36)
Уравнение (22.36) выполняется для двух положительных значений со, для которых
со2 = _Е+^_±^_у Я2 + С2 + 2Я(7 соз ка, (22.37)
причем
— --г- ¦„ • (22.38)
Для каждого из N значений к имеется, таким образом, два решения, что дает в целом 27У нормальных мод, как и должно быть при 2Ы степенях свободы (по два иона в каждой из N элементарных ячеек). Две кривые зависимости со от к носят название двух ветвей закона дисперсии; мы изобразили эти две ветви на фиг. 22.10. Нижняя ветвь имеет тот же характер, что и един-
64
Глава 22
ственная ветвь, найденная нами для моноатомной решетки Бравэ: частота со пропорциональна к при малых к, а на краях зоны Бриллюэна кривая становится почти горизонтальной. Эту ветвь называют акустической, потому что ее закон дисперсии при малых к имеет форму со = ск, характерную для звуковых волн. Вторая ветвь начинается при к = 0 от значения со = ]/ 2 (К -f- G)IM и опускается вниз с ростом к, достигая значения ]/2К1М на границе зоны. Ее называют оптической ветвью, поскольку длинноволновые оптические моды в ионных кристаллах могут взаимодействовать с электромагнитным излучением, чем объясняются многие особенности оптических свойств таких кристаллов (гл. 27).
