Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Первое свойство симметрии
Д,Г(В-К') = ^(К'-К)- (22.47)
Поскольку Б — коэффициенты в квадратичной форме (22.10), их можно всегда выбрать так, чтобы они обладали этой симметрией. Иначе говоря, данное свойство следует из общего определения коэффициента (В — В') как второй производной от точного потенциала взаимодействия
^ (Н - Ю = ди^иАЮ Ц, (22-48)
которая не зависит от порядка дифференцирования.
Второе свойство симметрии
0^(Я-К) = 0ПУ(П<-П) или Р(В) = 0(-В), (22.49)
или же с учетом (22.47)
^(К-В') = ^(К-К')- (22.50)
Это свойство симметрии следует из того, что всякая решетка Бравэ обладает симметрией относительно инверсии. Следовательно, энергия конфигурации, в которой ион, связанный с узлом В, имеет смещение и (В), должна совпадать с энергией конфигурации, в которой ион, связанный с узлом — К, имеет смещение —и (—К) 1). Соотношение (22.49) есть просто условие того, что величина (22.45) не изменится при замене и (В) —»-—и (—И) для любых значений и (К). Третье свойство симметрии
2#^(К) = 0, или 2О(В) = 0. (22.51)
я н
х) То есть г (К)-* — г (—II).
Класеическая теория гармонического кристалла
67
Это свойство следует из того, что если всем ионам дать одинаковые смещения (1 от положения равновесия (т. е. если и (К) = <1), то произойдет просто смещение всего кристалла без его внутренней деформации и потенциал ?/Ьагш будет иметь такую же величину, как если бы все смещения и (К) отсутствовали, т. е. будет равен нулю:
0= 2 ^А^(К-К')^ = 2ЛЧА(2 Ап-(К)). (22.52)
(XV
Соотношение (22.51) представляет собой просто условие обращения в нуль величины (22.52) при произвольном выборе вектора (1. I
Вооружившись всеми этими свойствами симметрии, мы можем поступать дальше следующим образом.
У нас есть SN уравнений движения (по одному для каждой из трех компонент смещения N ионов):
М^(К)=~^7кУ=- 3 ^(К-К')^(К'), (22.53)
или в матричных обозначениях
Ми(Щ = - 2 й (К— К') и (К').
Как и в одномерном случае, будем искать решение этих уравнений в виде простых плоских волн:
и (К, г) = 8е«к-к-ш'>. (22.55)
Здесь 8 — вектор, требующий определения. Он описывает направление, в котором движутся ионы. Его называют вектором поляризации нормальной моды.
Мы продолжаем пользоваться периодическими граничными условиями Борна — Кармана, согласно которым для каждого из трех основных векторов аг должно выполняться равенство и (К + Л^аг) = и (IV), где /У; — большие целые числа, удовлетворяющие соотношению N — ЛГ1ЛГ2ЛГ3. Согласно этому условию, допускаются лишь волновые векторы к вида ')
к = -^-Ь! + -^Ь2-г--^-Ь3, щ — целые числа, (22.56)
где Ь, — векторы обратной решетки, удовлетворяющие условию Ь; • а7- = 2яб^. Как и при рассмотрении одномерного случая, физически различные решения дают лишь векторы к, принадлежащие одной элементарной ячейке обратной решетки; иными словами, если к векторам к в выражении (22.55) добавить вектор К обратной решетки, то смещения всех ионов не изменятся, поскольку егк-п = 1 для векторов обратной решетки. В результате мы имеем всего N неэквивалентных значений к вида (22.56), которые можно выбрать так, чтобы они лежали в одной из элементарных ячеек обратной решетки. Обычно в качестве такой ячейки удобно взять первую зону Бриллюэна.
Подставляя (22.55) в (22.54), получаем решение, когда вектор е является собственным вектором трехмерной задачи на собственные значения:
Мсо2в = О (к) 8. (22.57)
г) Ср. с обсуждением в т. 1, стр. 142, где аналогичные ограничения были наложены на допустимые волновые векторы для волновой функции электрона в периодическом поле.
(22.54)
68
Глава 22
Здесь величина D(k), называемая динамической матрицей, определяется следующим образом:
D(k) = 5D(R)e-*k-R. (22.58)
R.
Три решения уравнения (22.57) при каждом из N разрешенных значений к дают в сумме 37V нормальных мод. При обсуждении этих решений удобно учесть симметрию коэффициентов D(k), следующую из симметрии матрицы D(R). Исходя из соотношений (22.49) и (22.51), матрицу D(k) можно записать в виде
D(k) = y2D(R)[r«'R + eik'H-2] =
R
= 2 D(R)[cos(k-R)-l]= - 2 2 D(R)sin2(V2k.R). (22.59)
R R
Из выражения (22.59) сразу же видно, что D(k) есть четная функция от к и действительная матрица. Кроме того, из (22.50) следует, что матрица D(k) симметрична. В матричной алгебре существует теорема, согласно которой каждая действительная симметричная трехмерная матрица имеет три действительных собственных вектора ех, е2, е3, удовлетворяющих уравнению
D (k) es (к) = К, (к) es (к) (22.60)
и допускающих нормировку:
e,(k)-e,'(k) = 6„., s, s' = l, 2, 3. (22.61)
Очевидно, три нормальные моды с волновым вектором к будут иметь указанные векторы поляризации ss (к) и частоты cos (к), определяемые выражением х)
58 "Лк)=]/^#. (22.62)
Для одномерной моноатомной решетки Бравэ мы нашли, что при малых к величина со (к) стремится к нулю по линейному закону. В трехмерной моноатомной решетке Бравэ это остается справедливым для каждой из трех ветвей. Сказанное следует из выражения (22.59). Действительно, когда величина k-R мала для всех векторов R, соединяющих узлы, где находятся достаточно сильно взаимодействующие между собой ионы, мы можем воспользоваться приближенным выражением для синуса 2):
