Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
О 0,1 0,г 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Т/в,,
Фиг. 23.3. Зависимость удельной теплоемкости в дебаевском приближении от Т/вв. (Из
работы [3].)
дебаевская температура играет в теории колебаний решетки такую же роль, какую температура Ферми играет в теории электронов в металлах: обе они представляют собой характерные температуры, отделяющие низкотемпературную область, где нужно пользоваться квантовой статистикой, от высокотемпературной области, где справедлива классическая статистическая механика. Однако в случае электронов реальные температуры всегда гораздо ниже Т р, тогда как дебаевская температура Э а (см. табл. 23.3) обычно порядка 102 К, поэтому нам могут встретиться как квантовый, так и классический режимы *).
МОДЕЛЬ ЭЙНШТЕЙНА
В модели Дебая для кристалла с полиатомным базисом оптические ветви спектра соответствуют большим значениям к в том же самом линейном выражении (23.12), которое при малых к дает акустическую ветвь (фиг. 23.4, а). Альтернативная схема заключается в том, чтобы пользоваться моделью Дебая лишь для трех акустических ветвей спектра. Тогда оптические ветви учитываются в «эйнштейновском приближении», в котором частоты каждой оптической ветви полагаются не зависящими от к и равными сод (фиг. 23.4, б). Плотность п в формулах (23.22), (23.26) и (23.27) следует при этом считать равной числу элементарных ячеек на единицу объема кристалла, а формула (23.26) дает теперь вклад в теплоемкость только за счет акустических ветвей 2). В эйн-
х) То, что Тр"^> 0 д — не случайное обстоятельство. Это неравенство есть следствие
различия в массах электронов и ионов: 0 т>1ТР ~У т,1М [см. формулу (26.52)].— Прим. ред.
2) Заметим, что в формуле (23.27) для низкотемпературной удельной теплоемкости такое изменение определения величины п в точности компенсируется изменением определения дебаевской температуры 9В, поэтому коэффициент при Т3 остается прежним. В этом отражается то обстоятельство, что оптические ветви не вносят вклада в теплоемкость при низких температурах, вид которой не должен поэтому зависеть от способа их рассмотрения»
•90
Глава 23
Фиг. 23.4. Два разных способа аппроксимации акустических и оптических ветвей в двухатомном кристалле (для иллюстрации взят двумерный случай и выбрано симметричное
направление).
-а — аппроксимация Девая. Первые две зоны Бриллюэна квадратной решетки ааме яются окружностью с той же полной площадью, а весь спектр аппроксимируется линейным законом дисперсии внутри этой
окружности.
б — аппроксимация Двбая для акустической ветви и аппроксимация Эйнштейна для оптической ветви. Первая зона Бриллюэна заменяется окружностью с той же площадью, акустическая ветвь аппроксимируется линейной ветвью внутри круга, а оптическая — ветвью с постоянной частотой
тптейновском приближении каждая оптическая ветвь вносит в тепловую энергию вклад
пН(ЯЕ
(23.28)
поэтому если имеется р таких ветвей, то в удельной теплоемкости появится дополнительный член 1):
optical
= рпк}
(е
ha>B/hBT_
.1)2
(23.29)
г) Впервые квантовая механика была применена в теории теплоемкости твердых тол Эйнштейном, который предложил для полной теплоемкости формулу (23.29). Хотя эта формула действительно дает наблюдаемое меньшее значение теплоемкости по сравнению со значениями, предсказываемыми высокотемпературной формулой Дюлонга и Пти, найденная теплоемкость слишком быстро стремится к нулю при очень низких температурах (фиг. 23.5). Дебай впоследствии заметил, что, поскольку в твердом теле могут иметься упругие волны с очень большой длиной волны, т. е. с очень низкими частотами, представление твердого тела в виде набора идентичных осцилляторов, на котором основана формула Эйнштейна, не может быть корректным. Тем не менее модель Эйнштейна дает довольно хорошие результаты при расчете вклада в теплоемкость за счет относительно узких оптических ветвей, п в этом «ачестве ее продолжают использовать до настоящего времени.
Квантовая теория гармонического кристалла
91
Характерные особенности эйнштейновского члена (23.29) заключаются в следующем: а) при температурах гораздо выше температуры Эйнштейна ©Б = %(йЕ(кв каждая оптическая мода дает постоянный вклад кв/У в удельную
Фиг. 23.5. Сравнение аппроксимаций Дебая и Эйнштейна в применении к удельной теплоемкости диэлектрического кристалла. (Из работы [3].)
Параметр в есть температура Дебая или Эйнштейна в зависимости от того, какая кривая рассматривается. Обе кривые нормированы таким образом, чтобы при высоких температурах они достигали значения Дго-лонга и Пти (5,96 кал/моль- К). Для кристаллов с базисом из т ионов кривой Эйнштейна следует приписать вес, равный (т — 1), а кривой Дебая — вес, равный единице.
теплоемкость, как и требуется классическим законом Дюлонга и Пти; б) при температурах гораздо ниже температуры Эйнштейна вклад оптических мод в теплоемкость экспоненциально падает, что отражает трудность течмттоского возбуждения оптических мод при низких температурах.
СРАВНЕНИЕ РЕШЕТОЧНОЙ И ЭЛЕКТРОННОЙ УДЕЛЬНЫХ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ
Полезно знать то характерное значение температуры, при котором электронный (линейный по Т) вклад в удельную теплоемкость металла перестает преобладать пад вкладом колебаний решетки (кубическим по Г). Разделим электронный вклад в теплоемкость [формула (2.81)] на выражение (23.27) для фононного вклада в теплоемкость при низких температурах; тогда, замечая, что плотность электронов равна умноженной на 7, плотности ионов, где 2 — номинальная валентность, получаем'
