Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
г (К) = К + и (К),
(22.1)
Фиг. 22.2. Соотношения между вектором К решетки Бравэ, мгновенной координатой г (11) иона, совершающего колебания вокруг точки К, и смещением этого иона и (И) = г(Ю-К.
где и (К) — отклонение от равновесия для иона, равновесное положение которого есть К (фиг. 22.2).
Чтобы сделать наше рассмотрение конкретным, заново обсудим вывод когезионной энергии инертных газов (гл. 20), придерживаясь теперь более
*) В рамках теории, романтически названной «теорией квантовых кристаллов». Происхождение такого названия связано с тем, что в классической теории предположение 2 должно выполняться во всяком твердом теле при достаточно низкой температуре. Лишь в силу принципа неопределенности отклонения ионов от положений равновесия сохраняются при любых, сколь угодно низких температурах. [Нулевые колебания есть во всех кристаллах. Это, конечно, -квантовое свойство. Однако квантовыми кристаллами называют только кристаллы гелия, которые занимают промежуточное положение между квантовымп жидкостями и обычными кристаллами. В квантовых кристаллах дефекты (в частности, вакансии) не локализованы, а в виде своеобразных квазичастиц распространяются по кристаллу. Это приводит к тому, что коэффициент диффузии и самодиффузии в квантовых кристаллах не обращается в нуль при Т 0. — Прим. ред.]
а) В настоящей главе мы в основном будем иметь дело лишь с моноатомными решетками Бравэ, т. е. с твердыми телами, в кристаллической структуре которых в каждом элементарной ячейке содержится по одному иону, находящемуся в узле К = пгя± + га2а2 + п3а3 решетки Бравэ. Обобщение на случай решеток с базисом из п атомов в каждой элементарной ячейке, находящихся в точках К + Ли К + <12, • • ., 11 + <1„, в принципе производится довольно просто, но может потребовать сложных обозначений.
3) В более общем случае при описании решетки с базисом мы могли бы обозначить через I] (11) положение /-го атома базиса в элементарной ячейке с центром в К и записать г? (Й) = = 11 + й} + иу (К).
52
Глава 22
широкой точки зрения. Будем по-прежнему считать, что пара атомов, отстоящих на расстояние г, дает вклад ф (г) в потенциальную энергию кристалла, где ф представляет собой, например, потенциал Леннарда-Джонса (20.2). Если бы модель статической решетки была правильной и каждый атом покоился в своем узле решетки Бравэ, то полная потенциальная энергия кристалла была бы равна сумме вкладов от всех различных пар:
и = Т% #(Н-Н') = 4 2 #(*)• (22-2)
В.В.' В. т^О
Если, однако, учесть, что атом, среднее положение которого есть К, вообще говоря, находится в положении г (К) Ф В, то мы должны заменить (22.2) выражением
?/ = 4-2 #(г(Ю-г(К')) = 4-Е ^(К-К' + и(К)-и(К')). (22.3)
В.В.' В.В.'
Таким образом, потенциальная энергия теперь зависит от динамических переменных и (К) и нам требуется решить динамическую (или статистико-механи-ческую) задачу, определяемую гамильтонианом *)
в.
здесь Р(В) — импульс атома с равновесным положением Б., а М — масса атома.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Если парный потенциал ф имеет вид потенциала Леннарда-Джонса, то получение какой-либо полезной информации на основе точного решения задачи с этим гамильтонианом — дело безнадежно трудное. Поэтому задачу решают приближенно, исходя из предположения, что атомы не отклоняются существенно от своих равновесных положений. Если все величины и (К) малы 2), потенциальную энергию I/ можно разложить в ряд вблизи ее равновесного значения, воспользовавшись теоремой Тейлора для трехмерного случая:
Л(г + а) = /(г) + а.у/(г) + 4-(а^)2/(г)+^-(а.Т)а/(г)+ .... (22.5)
Применяя ее к каждому слагаемому в (22.3) и полагая г = В — К8 и а = = и (В.) — и (В'), находим
и = А 2 ф (В)+4- 2 (и (В) - и (В')) • Чф (В - В') +
+ ±2 [(и(В)-и(В')).Т]2^(В-В') + 0(иЗ). (22.6)
В.В.'
Коэффициент перед и(В) в линейном члене есть просто
2^ (В-В'). (22.7)
г) В динамике решетки в качестве канонических координат обычно выбирают и (11), а не г (И), т. е. координата каждого иона отсчитывается от своей начальной точки.
2) Точнее, если разность и (В.) — и (К') мала для всех пар атомов, для которых потенциал ф (В. — К') достигает существенных значений. Абсолютное смещение атома может быть большим. Важно лишь, чтобы малым было его смещение по отношению к тем атомам, с которыми он достаточно сильно взаимодействует.
Классическая (теория гармонического кристалла
53
Это выражение, однако, равно взятой со знаком минус силе, действующей на атом в узле II со стороны всех других атомов, когда каждый из них находится в своем положении равновесия. Следовательно, указанный коэффициент должен обращаться в нуль, так как в равновесии действующая на атом суммарная сила равна нулю.
Поскольку линейное слагаемое в (22.6) равно нулю, первой неисчезаю-щей поправкой к равновесной потенциальной энергии является квадратичное слагаемое. В гармоническом приближении оставляют только это слагаемое и записывают потенциальную энергию в виде
и = и^ + иьмт, (22.8)
где 17еч — равновесная потенциальная энергия (22.2), а величина [/Ъв определяется выражением
