Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
X хНе/хАт
Л 0,59 0,19 3,1
Дг/г-с 0,047 0,011 4,3
Ди/ис 0,26 0,10 2,6
АВ/В<> 0,39 0,15 2,6
их не удается надежно определить по экспериментальным данным; для изотопов гелия параметр де Бура слишком велик, поэтому результаты такого анализа не могут быть надежными.) В гл. 25 будет описано, каким образом можно более точно учесть эффекты нулевых колебаний.
2. Покажите, что модуль всестороннего сжатия для ионного кристалла со структурой КаС1 описывается выражением
где г0 — равновесное расстояние между ближайшими соседями. Покажите, что из формулы (20.19) для полной энергии на одну ионную пару следует выражение
(го—1) аеа
(20.32)
т=1+,..сош°Д, . (20-33)
0 18
и поэтому
18Д„г3 I иС0Ш (г.) I '
где иоои1 (г) _ энергия на одну ионную пару в кристалле, образованном точечными зарядами (г — расстояние между ближайшими соседями).
3. Формулой (20.19) для когезионной энергии на одну ионную пару можно воспользоваться для исследования устойчивости возможных кристаллических структур, которыми мог бы обладать ионный кристалл. Предполагая, что константа связи С, характеризующая вклад короткодействующего отталкивания, пропорциональна координационному числу X, покажите, что равновесная когезионная энергия для разных типов решетки пропорциональна (ат/г)1/(т~1К Воспользовавшись значениями а, приведенными в табл. 20.4, постройте таблицу относительной устойчивости в зависимости от величины го. (Указание. Вначале рассмотрите случай больших и малых го.)
4. а) В качестве очень грубой модели щелочного металла предположим, что заряд каждого валентного электрона равномерно распределен по сфере радиусом г$ вокруг каждого иона. Покажите, что электростатическая энергия на один электрон тогда равна
иоои1 = _ Эо^ ридберг/электрон=г--24Д9 эВ/электрон_ (20.34)
0Г« \Г81ао)
44
Глава 20
[Этот результат удивительно близок к результату (20.24) для о. ц. к. решетки ионов, погруженной в полностью однородное распределение компенсирующего отрицательного заряда.]
б) В реальном металле валентные электроны практически не проникают в область, занимаемую ионами. Учтем это, считая, что заряд каждого электрона однородно распределен в области между сферами с радиусами гс и г8 вокруг каждого иона, и заменим затем потенциал каждого иона псевдопотенциалом:
е2
V™ (г) =--г > гс
р г ' ' (20.35)
= 0, г<гс.
Покажите, что тогда вместо выражения (20.34) в главном порядке по гс/га справедливо выражение
—+ ЩЧтхГ Ридберг/электрон. (20.36)
в) Считая энергию на одну частицу равной сумме кинетической (20.25), обменной (20.26) и потенциальной (20.36) энергий, покажите, что для равновесного значения г8/а0 справедливо выражение
г8/а0 = 0,82 + 1,82(гс/а0) [1 + 0 (а0/гс)*\. (20.37)
Сравните это со значениями, приведенными в табл. 1.1 и 19.4.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bernardes N., Phys. Rev., 112, 1534 (1958).
2. Jones J. E., Ingham А. е., Ргос. Roy. Soc, А107, 636 (1925).
3. Klein M. L., Horton G. К., Feldman J. L., Phys. Rev., 184, 968 (1969).
4. Batchelder D. N. et al., Phys. Rev., 162, 767 (1967).
5. Dobbs E. R., Jones G. O., Rep. Prog. Phys., 20, 516 (1957).
6. Ewald P. P., Ann. Phys., 64, 253 (1921).
7. Slater J. C, Insulators, Semiconductors and Metals, McGraw-Hill, New York, 1967. (Имеется перевод: Слэтер Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы.— М.: Мир, 1969.)
8. Tosi M. Р., в кн. Solid State Physics, vol. 16, eds. Seitz F., Turnbull D., Academic Press, New York, 1964.
9. Wyckoff R. W. G., Crystal Structures, 2nd ed., Interscience, New York, 1963.
10. Pauling L., The Nature of the Chemical Bond, 3rd ed., Cornell University Press, Ithaca, New York, 1960. (Имеется перевод 1-го изд.: Паулинг Л., Природа химической связи.— М.: Госхимиздат, 1947.)
11. Shell С. А., Ргос. Phys. Soc, 92, 434 (1967).
ГЛАВА 21
В гл. 3 мы дали обзор недостатков теории свободных электронов в металлах,, перечислив различные явления, которые могут быть объяснены лишь при учете периодического потенциала, обусловленного ионной решеткой х). В последующих главах периодическая ионная решетка играла важную роль при рассмотрении металлов и диэлектриков. Повсюду мы предполагали, что ионы образуют фиксированную, жесткую и неподвижную решетку 2). Это предположение, однако, лишь приближенно характеризует действительное расположение ионов в пространстве 3), поскольку масса ионов и силы, которые удерживают их на местах, имеют конечную, а не бесконечно большую величину. Поэтому в классической теории статическая модель может быть справедливой лишь при нулевой температуре. При отличных от нуля температурах каждый ион должен иметь некоторую тепловую энергию, а следовательно, совершать какие-то движения в окрестности своего положения равновесия. В квантовой теории модель статической решетки неверна даже при нулевой температуре, поскольку, согласно принципу неопределенности (Ах Ар :> Ь), локализованные ионы должны обладать некоторым не равным нулю средним квадратом импульса 4).
Пользуясь упрощенной моделью неподвижных ионов, мы достигли значительных успехов в объяснении целого ряда равновесных и кинетических свойств металлов, главную роль в которых играют электроны проводимости, хотя и не смогли ответить на вопрос, что является причиной столкновений электронов. Модель статической решетки позволяет также довольно успешно объяснить некоторые равновесные свойства ионных и молекулярных диэлектриков.
