Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует, что главный момент равен нулю, так как он не может быть перпендикулярен всем образующим одной и той же системы гиперболоида, поскольку последние не параллельны одной и той же плоскости. Таким образом, имеет место равновесие.
Если четыре прямых D1, D?, D3, Di являются образующими одной и той же системы гиперболического параболоида, то вспомогательные прямые A1, A2, A3, Ai лежат в одной плоскости. Тогда можно, поступая как и в предыдущем случае, поместить на трех первых прямых D1, D2, D3 три силы Z1, /а, /3, главный вектор которых равен нулю, а главный момент имеет величину а, одинаковую для всех точек пространства, и направлен перпендикулярно ко всем образующим Д второй системы, т. е. перпендикулярно второй направляющей плоскости. Точно так же можно поместить на прямых D1, D2 и Di три силы glt g2, git главный вектор которых равен нулю и главный момент которых b перпендикулярен второй направляющей плоскости, т. е. имеет то же направление, что и а Если теперь на четырех прямых поместить силы
Fi = Щ + F2 = If2 +iig2, F3 = If3, Fi = Iigi,
полученные сложением сил первой системы, умноженных на А, и сил второй системы, умноженных на ц, то главный вектор будет равен нулю, а главный момент будет перпендикулярен второй направляющей плоскости и будет равен Xa-j-fift. Величинами X и (і можно распорядиться таким образом, чтобы этот момент равнялся нулю, и тогда указанные четыре силы будут находиться в равновесии.
3°. Пять прямых. Если по пяти прямым D1, D2, D3, Di, D6 можно направить пять сил, находящихся в равновесии, то любая прямая, пересекающая четыре из них, будет обязательно пересекать и пятую. Существуют, две вещественные или мнимые секущие Д' и А", пересекающие D1, D2, D3, D4, В самом деле, прямые Д, пересекающие D1, D2, D3, образуют поверхность второго порядка S, которая пересекает прямую Di в двух вещественных
Рис. 70. 136
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
или мнимых точках р' и р". Две образующие 5 системы Д, проходящие через эти две точки, образуют две секущие, пересекающие четыре прямых Db Di, Di, Di. Эти две секущие Д' и Д" должны также пересечь и прямую Db. Необходимо, следовательно, чтобы существовали две прямые, пересекающие одновременно все пять заданных прямых, или, на языке геометрии прямых, заданные пять прямых должны принадлежать линейной конгруенции. Рассуждениями, совпадающими с предыдущими (случай параболоида), можно показать, что это условие является достаточным.
4°. Шесть прямых. Для того чтобы по шести прямым можно было направить шесть сил, находящихся в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эти прямые принадлежали линейному комплексу.
Применим аналитический метод, указанный Мёбиусом и Сомовым. На одной из шести прямых Djc отложим в определенном направлении отрезок dk единичной длины и обозначим через ak, ?fr, Tft проекции этого отрезка на три оси, а через lk, [ik, чк — его моменты относительно этих осей. Эти шесть величин, связанных соотношением
«ftXft + ?wc + Tft vft = 0.
пропорциональны величинам, названным Плюккером координатами прямой Dk. Направим теперь вдоль прямой Djc силу, алгебраическое значение которой, отсчитываемое в направлении отрезка Ajc, равно Fjc. Проекции и моменты этой силы равны
«ft^ft, ?ft^ft, IkFk', hcFk, PkFk, VkFk-
Если все это проделать для каждой из шести рассматриваемых прямых (& = 1, 2, ...,6) и написать, что шесть сил находятся в равновесии, то получится шесть уравнений
2?/? = о, 2 VbfX = 2 IkFk = O, )
JlkFk = 0, = J4Fk = O, ] (1)
где суммирование распространяется на все шесть сил. Из этих шести линейных и однородных уравнений можно определить для шести неизвестных Fi, F2, ...,Fe значения, неравные одновременно нулю лишь в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений (1), равен нулю. Таким образом, получаем необходимое и достаточное условие
at ?t Ti h С-1 Ч a2 ?? ТЗ ^2 IxI v2 __ Q
ав ?e Te h ve
которое выражает, что шесть прямых принадлежат одному и тому же линейному комплексу.
Такие же вычисления показывают, что если число заданных прямых превышает шесть, то по ним всегда можно направить силы, находящиеся в равновесии, так как шесть уравнений (1) будут содержать более шести неизвестных.
IV. Твердое тело, подчиненное связям
108. Метод. Общий метод, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что мы будем рассматривать тела как свободные, вводя в качестве вспомогательных неизвестных реакции, вызываемые наложенными связями, которые называются реакциями связей. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
137
109. Тело с неподвижной точкой. Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, вокруг которой оно может
свободно вращаться. Обозначим через F1, F2.....Fn действующие
на тело силы. Такое тело может быть названо рычагом в наиболее общем смысле этого слова. Мы занимаемся, следовательно, условиями равновесия рычага.
Тело оказывает на неподвижную точку давление R (рис. 71). По закону равенства действия и противодействия неподвижная точка действует на тело силой Q, равной и противоположной силе R, так что тело может рассматриваться как свободное под действием
