Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
сил F1, F2.....Fn, Q. Если тело находится
в равновесии, то первые п сил имеют равнодействующую, равную и прямо противоположную силе Q. Следовательно, условия равновесия заключаются в том, что заданные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это условие является достаточным, так как если заменить все приложенные к телу силы
указанной равнодействующей, то она уравновесится сопротивлением неподвижной точки, со стороны которой будет действовать равная и прямо противоположная равнодействующей сила реакции.
Мы можем прийти к этому же результату и аналитически. В точке О выберем три прямоугольные оси координат; обозначим через X, Y, Z, L, М, N проекции главного вектора и главного момента относительно начала О системы сил F, приложенных к телу, а через X', Y', Z' проекции реакции Q неподвижной точки. Условия равновесия будут:
X-IrXr = O, К + К' = 0, Z-IrZr = O, (1)
L= 0, M = 0, N = 0. (2)
Уравнения (2), не содержащие реакции, являются необходимыми условиями равновесия. Они выражают, что приложенные к телу силы F приводятся к одной силе, проходящей через начало О. Уравнения (1) показывают тогда, что реакция (Xr, Yr, Zr) равна и противоположна этой равнодействующей (X, К, Z), которая является не чем иным, как давлением на неподвижную точку.
Рассмотрим частный случай рычага, находящегося под действием только двух сил F1 и F2. Для того, чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы эти силы уравновешивались реакцией Q точки О. Для того чтобы три силы F1, F2, Q находились в равновесии, необходимо, чтобы силы F1 и F2 находились в одной плоскости с точкой О и чтобы сумма моментов сил F1 и F2 относительно точки О равнялась нулю. Это— хорошо известное элементарное условие равновесия рычага. 138
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
110. Тело, имеющее неподвижную ось. Пусть Fv F2, .-.,Fn —
силы, действующие на твердое тело. Они вызывают в различных точках оси давления Pr, Р", P'".....а ось, в свою очередь, действует на тело реакциями Q', Q", Q'", ... Тело может рассматриваться как свободное, но находящееся под действием сил F1, F2, ..., Fn, Q', Q", ... Для того чтобы было равновесие, необходимо, в частности, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно неподвижной оси, которую мы примем за ось г, равнялась нулю. А так как моменты реакций Q', Q", ... равны нулю, то необходимо, чтобы было
N = 0.
Это — необходимое условие равновесия. Оно и достаточно. В самом деле, если оно выполняется, то система сил приводится к одной силе, равной главному вектору OR и уравновешивающейся сопротивлением оси, и к паре с вектором момента OG, перпендикулярным к Oz, так как N равно нулю. Эта пара может быть повернута в своей плоскости таким образом, чтобы ее плечо совпало с осью. Тогда силы 9,9', составляющие пару, будучи приложены к точкам
оси, уравновешиваются ее сопротивлением, и тело действительно находится в равновесии.
Задача, которою мы занимаемся, представляет собою условия равновесия ворота.
Найдем теперь реакции оси. Эти реакции являются силами, приложенными в различных точках тела, соприкасающихся с осью. Они могут быть приведены к двум силам Q' и Q", приложенным к двум точкам О и О' оси. Такой результат может быть получен физически, если закрепить две точки О и О' оси, сделав ее таким образом неподвижной. Эти точки действуют на тело, развивая реакции Q и Q'. Примем точку О за начало. Обозначим через X, Y, Z, L, М, N те же элементы, что и раньше, а через X', Y', Z', X", Y", Z" проекции реакций Q' и Q". Пусть h — расстояние OO'. Мы получим условия равновесия (рис. 72):
X -j-X' -\-Х"= 0, К+К'+К" = 0, Z + Z' + Z" = 0, L — hY" = 0, M-{-hX" = 0, N = 0.
Последнее из этих уравнений не зависит от реакций: это — необходимое и достаточное условие равновесия тела. Два предшествующих уравнения определяют X" и Y". Подставляя эти значения в два первых уравнения, найдем X' и Y'. Но Z' и Z" связаны только одним условием
Z+ Z'+ Z" = о,
Рис. 72. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
139
которое не позволяет определить каждую из этих реакций, если предполагать, что тело абсолютно твердое.
С физической точки зрения реакции Q' и Q" являются, однако, вполне определенными, так как тела в природе не обладают свойствами, которые мы приписываем абсолютно твердым телам в теоретической механике: они деформируются, и эта деформация вызывает действие упругих сил. Если принять во внимание эти силы, то можно определить и каждую из последних двух реакций.
111. Тело вращается вокруг оси и скользит вдоль нее. В этом случае реакции Q', Q", Q'" оси на тело нормальны к оси. Приняв последнюю за ось Oz, получим два условия равновесия
N = О, Z = 0.
112. Тело, опирающееся на неподвижную плоскость.
1°. Случай одной точки опоры. Рассмотрим сначала случай, когда тело опирается на неподвижную плоскость только одной точкой. Реакция плоскости на тело будет нормальна к плоскости, если предположить, что тело может скользить без трения. Тело может рассматриваться как
саободное, но находящееся под действием сил F1, F2..... Fn,
