Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
что функция MOl+1 + AlOg+1 + ... + A10„+1 имеет максимум или минимум, когда точка M совпадает с положением равновесия А. Если ч = — 1, то эта функция должна быть заменена функцией log AlOt • AlO2 ... AlOn. Если V == 1, то А есть центр средних расстояний между точками 0?.
4. Найти положения равновесия тяжелой точки, которая движется без трения по винтовой линии на цилиндре вращения с вертикальной осью и притягивается одной из точек оси пропорционально расстоянию.
Ответ. Одно положение устойчивого равновесия.
5. Найти положения равновесия точки Al, движущейся без трения по окружности радиуса а и подверженной действию силы, направление которой проходит через фиксированную точку А окружности и алгебраическое значение которой при положительном направлении, совпадающем с AM, равно
AM
Ответ. Три положения равновесия: два, для которых AM = а, и одно, для которого AM = 2а. Первые два устойчивы, а третье неустойчиво.
6. Дана сила F, проекции которой X, Y, Z зависят от х, у, z. Найти такую поверхность S, чтобы точка, движущаяся по ней без трения и подверженная действию силы F, находилась в равновесии в любом положении.
Ответ. Должен существовать такой множитель fx, чтобы
(X (X dx + Y dy + Z dz) = df{x, у, z).
Искомые поверхности суть f{x, у, z) = const. Если существует силовая функция, то искомые поверхности являются поверхностями уровня.
6а. Точно так же найти кривые, на которых точка находится в равновесии в любом положении.
(Эти кривые всегда существуют. Они должны удовлетворять уравнению
Xdx+ Ydy+ Zdz = О,
которое позволяет, выбрав произвольным образом х и у в функции параметра q, определить затем z.)
7. Точка М, находящаяся под действием силы F, может скользить без трения по неподвижной кривой, координаты которой выражены в функциях параметра q. К этой кривой проведена касательная MT в сторону возрастания q. Показать, что косинус угла TMF имеет знак функции, обозначенной через Q (п. 92). Отсюда вывести, что для устойчивости равновесия при <7 = <7i необходимо и достаточно, чтобы функция Q обращалась в нуль, переходя от положительных значений к отрицательным, когда q достигает значение qj и переходит через него.
8. Найти положения равновесия точки Al, помещенной на наружную поверхность эллипсоида, если Al отталкивается неподвижной точкой P с силой, пропорциональной расстоянию. (Так как точка Al может покинуть поверхность наружу, то необходимо принимать во внимание знак величины X. Если P находится вне эллипсоида, то имеется одно положение неустойчивого равновесия. Если P находится внутри эллипсоида, положений равновесия нет. Геометрически задача сводится к проведению из точки P нормалей к поверхности. Затем Следует сделать надлежащий выбор оснований этих нормалей.)
9. Точка, движущаяся по параболе у2 — 2рх = 0, притягивается неподвижной точкой (а, Ь), лежащей в плоскости кривой, пропорционально расстоянию. Найти положения равновесия. Исследовать устойчивость. Имеем
ДГ = (х(а — X), Y=v.{b — y), (х>0. ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ 125
Ординаты положений равновесия [основания нормалей, проведенных из (а, Ь)], являются значениями у, обращающими в нуль функцию
•(» = j + V-y)]
и совпадающими со значениями, для которых функция
выраженная через у, имеет максимум или минимум. Равновесие устойчиво» если эта функция имеет максимум. •
10. К трем вершинам А, В, С треугольника прикреплены упругие нити, ,длины которых в нерастянутом состоянии равны а, ?, у. Нити растягиваются и связываются в узел. Предполагается, что сила упругости каждой нити пропорциональна удлинению, отнесенному к единице длины (например, если
X — удлинение первой нити, то сила упругости равна k — , где k одинаково
а
для всех трех нитей). Какие соотношения должны существовать между тремя длинами а, р, у, чтобы положение равновесия узла совпадало с центром тяжести треугольника? ГЛАВА VI
РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА I. Приведение сил, приложенных к твердому телу. Равновесие
96. Твердое тело. Твердим телом называется совокупность материальных точек, неизменно связанных между собой. Если сила приложена к одной из этих точек, то говорят, что она приложена к телу. Определяемое таким образом твердое тело является абстракцией. Все естественные тела изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Но тела, называемые твердыми, настолько мало деформируются, что этой деформацией в первом приближении можно пренебречь, если только приложенные силы не слишком велики.
Согласно общим теоремам о равновесии произвольных систем для равновесия твердого тела под действием некоторых сил необходимо, чтобы эти силы составляли систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.
Но для твердого тела это необходимое условие является также и достаточным. Это можно доказать, допуская как очевидное следующее предложение:
Две приложенные к твердому телу равные и прямо противоположные силы находятся в равновесии.
Согласно этому предложению можно, не изменяя механического состояния твердого тела, приложить к нему или отнять от него две равные прямо противоположные силы.
