Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 58

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 205 >> Следующая


X=O, K = O, N = 0, Z + Q1 -Ь Q2 + ... +Qp = O,



? +^iQi+ ^2Q2+ ••• +^pQp = O,

(2)

M-U1Q1-O2Q2- ... —flpQp = 0 142

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

действующая пересекала плоскость внутри опорного многоугольника, что вытекает из двух последних уравнений (2). Если имеются только три точки опоры, то уравнения (2) позволяют определить три реак^ ции. Если их больше, то необходимо принять в расчет упругость тела.

4°. Приложения. Чтобы показать, как можно составить вспомогательные условия равновесия, рассмотрим прямоугольный стол, опирающийся четырьмя ножками на горизонтальную плоскость.

Пусть AxAiAiAi— стол, на который мы положим произвольные тела. Пусть P — равнодействующая весов тел и стола и А—ее точка пересечения со столом. Обозначим через B1, Bv B3, Bi (рис. 75), точки опоры. Примем неподвижную горизонтальную плоскость за плоскость ху,

центр опорного прямоугольника за начало координат и прямые, параллельные его сторонам, за оси х и у. Координаты точек опоры B1, Bof B3, Bi будут соответственно (а, Ь), ( — a,b), (—a, —b), (а, — Ь). Пусть X, у — координаты точки А. Обозначим через Q1, Q9, Qri, Qx реакции плоскости. Напишем сначала общие уравнения равновесия, которые здесь имеют вид:

Qx + Q9 + Q3 + Qi--P = O, і

bQx + bQz - bQ3 - bQ, - Py = О, > —aQi+aQ2 + aQ3 — aQ4 +Px = 0. J

(1)

Чтобы получить еще одно уравнение, мы допустим, что грунт не является абсолютно твердым и что он оседает в каждой точке на очень малую величину, пропорциональную давлению на грунт в этой точке. Обозначим через E1, є2. е3. є4 величины, на которые ножки углубляются в грунт. Тогда, по предположению,

Рис. 75.

Qi Q2 Q3 QA'

Точка О, рассматриваемая последовательно как середина отрезков B1B3 и B2B4, опустится на величину

H + е3 QQ, = Є2+ Е4

OO' =

Следовательно, должно быть

откуда

et + ез = є2+ Ч> Qi-02+ Q3-Qi = O-

(2)

Если имеются р точек опоры, то, написав, что после деформации груита они остаются в одной плоскости, мы получим р — 3 условий, которые совместно с тремя общими уравнениями позволят определить все реакции.

В нашем частном случае из уравнений (I)'и (2) после их разрешения относительно Q1, Q2, Q3, Q4 получаются для этих величии значения

К**)- ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

143

где величине Qi соответствуют знаки (Н—Ь). Оз—знаки (--1- ), Q3—знаки (--)

и Q^ — знаки (-)--,). Необходимо, чтобы все эти значения были положительными, а для этого точка А должна находиться внутри ромба с вершинами в серединах ребер стола. Если точка А находится вне этого ромба, например со стороны A1 (рис. 75), то реакция Q3 будет отрицательной, а остальные три будут положительными. Так как это невозможно, то следует предположить, что ножка B3 не оказывает больше давления на грунт и надо вычислять реакции Q1, Оз- Qi так> как если бы стол был поставлен только на три ножки, для чего нужно в уравнениях (1) положить Оз = 0.

113. Несколько твердых тел. Для нахождения условий равновесия системы, состоящей из нескольких твердых тел, соединенных взаимными связями, можно применить следующий метод: нужно выразить, что каждое из тел системы находится в равновесии под действием сил, непосредственно к нему приложенных, и под действием на него реакций остальных тел. Эти последние силы подчинены закону равенства действия и противодействия. Мы не будем заниматься здесь приложением этого метода. Мы увидим дальше, что принцип возможных скоростей дает значительно более быстрый метод для решения подобных вопросов.

V. Некоторые формулы для вычисления центра тяжести

114. Линии. На линии AB возьмем две точки PnP' (рис. 76) и обозначим через т массу дуги PP'. Отношение есть средняя плотность

PP'

дуги PP'. Если это отношение не зависит от положения точек P и P', то говорят, что линия AB однородна. Если оно изменяется, то плотностью линии в точке P называют предел р средней плотности дуги PP', когда точка P' стремится к Р. Плотность р, изменяясь с положением точки Р, является функцией параметра, определяющего положение точки P на кривой. Пусть ds — бесконечно малый элемент кривой, содержащий точку P с координатами X, у, г. Масса dm. этого элемента равна р ds и, обозначая через M всю массу кривой, а через 5, T1, ? координаты ее центра тяжести, имеем

= Jp ds, Mz = Jxр

Мц = J ур ds, MZ = Jz р ds.

Рис. 76.

Если линия однородна, то средняя плотность р будет постоянной и масса M будет тогда р/, где I — длина кривой. Для ?, ttj, С получим:

VS =

Jxds, l-ц = Jyds, K = Jzds.

115. Теорема Гюльдена. Площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой вокруг оси, расположенной в ее плоскости и 144

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

ее не пересекающей, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описываемой ее центром тяжести, в предположении, что кривая однородна.

В самом деле, отнесем плоскую кривую к оси вращения, принятой за ось Ох, и перпендикулярно к последней направим ось Oy. Элемент ds с ординатой у образует при вращении элемент поверхности dA, который можно отождествить с боковой поверхностью усеченного конуса, так что
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed