Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
5. Дан выпуклый плоский четырехугольник ABCD. Направить по сторонам этого четырехугольника четыре силы, находящиеся в равновесии. (См. Мёбиус, Статика, § 29.)
6. Центр системы сил, лежащих в плоскости и имеющих равнодействующую. Дана плоская фигура A1A2... An неизменяемой формы, к различным точкам которой приложены силы F1, F2, ..., Fn, расположенные в плоскости фигуры и имеющие равнодействующую R. Будем перемещать фигуру в ее плоскости, предполагая, что силы F1, F2.....Fn
остаются приложенными в тех же точках A1, A2.....An движущейся
фигуры и сохраняют неизменными свои величины и направления. Тогда равнодействующая R будет также сохранять неизменными свою величину и направление и будет проходить через некоторую точку С, неизменно связанную с движущейся фигурой и называемую по Мёбиусу центром сил F1, F2, ..., Fn.
7. Случай пары. Главные направления. Допустим теперь, что силы F1, F2, ..., Fn образуют пару. Тогда перемещая фигуру в своей плоскости и сохраняя постоянными величины и направления сил, можно всегда привести фигуру в положение равновесия.
Существуют два взаимно перпендикулярных направления OP и OQ, неизменно связанных с движущейся фигурой и обладающих следующим свойством: когда фигура приведена в то ее положение, где имеет место равновесие, и каждая из сил Fjc разложена на две составляющие Pjt и Qjc, параллельные соответственно OP и OQ, то каждая из систем параллельных сил Pjt и Qjc находится в равновесии. Эти направления называются главными (Мёбиус).
8. На дощечке укреплены две магнитные стрелки, линии полюсов которых имеют длину а и b и пересекаются под прямым углом в своих серединах. Дощечка плавает в неподвижной жидкости. Найти: 1) положение равновесия; 2) главные направления (упр. 7). Известно, что действие Земли на правильно намагниченную стрелку, т. е. такую, которая имеет только два полюса и только одно нейтральное направление, приводится к паре, силы которой постоянны по величине и направлению и приложены в полюсах. Обозначим в рассматриваемой задаче через P общее значение горизонтальных проекций сил пары, действующих на стрелку а, а через Q ту же величину для стрелки Ь. Силы PnQ направлены по магнитному меридиану места.
9. Центральная плоскость в твердом теле, находящемся п'од действием сил, главный вектор которых не равен нулю. Пусть на твердое тело действуют силы, главный вектор которых не равен Нулю. Допустим, что когда тело перемещается, каждая из сил сохраняет постоянными свою величину и направление и остается приложенной в одной и той же точке тела. Это, например, имеет место для тяжелого тела, образованного соединением нескольких намагниченных тел. В этом случае действие Земли на каждый магнит создает пару, силы которой постоянны по величине и направлению и приложены в полюсах магнита, а полный вес системы также является силой, постоянной по величине и направлению, приложенной в определенной точке тела. Эта система сил имеет главный вектор, равный весу. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
147
Очевидно, что поступательное перемещение тела ничего не изменяет в его состоянии и поэтому достаточно исследовать эффект вращений.
Рассмотрим прямую Op и разложим каждую силу Fjc на составляющую рк, параллельную Op, и на силу, к ней перпендикулярную. Если произвольным образом менять направление Op, то геометрическое место центров (о параллельных сил рк будет, в общем случае, плоскостью, называемой, по Мёбиусу, центральной плоскостью. Она не меняет свое положение в теле, какова бы ни была его ориентация. В некоторых частных случаях геометрическое место может быть прямой линией (центральная линия), а также и точкой (центр сил).
10. Теорема Миндинга. Будем перемещать произвольным образом тело, предполагая все время, что силы постоянны по величине и направленню. Существует бесчисленное множество положений, при которых силы Fjc приводятся к одной равнодействующей. Совокупность этих равнодействующих образует в теле множество лучей, которые пересекают два фиксированных конических сечения (фокальные конические сечения), находящихся в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. (См. Crelle1 т. 14, 15.)
.11. Оси равновесия. Рассмотрим свободное твердое тело, удовлетворяющее указанным выше условиям: когда тело меняет свое положение, действующие на него силы сохраняют величину и направление и остаются приложенными к одним и тем же точкам тела. Как мы уже говорили, поступательное перемещение ничего не меняет в состоянии тела и поэтому достаточно исследовать влияние вращений. Допустим, что тело в рассматриваемом положении находится в равновесии, и положим, как и Мёбиус (Статика, гл. VIII), что
JyZ = JzY = F, JzX=JxZ=G, JxY=JyX=H, JxX=I, JyY = т, J zZ = п,
где суммы распространены на все силы. Мёбиус назвал осью равновесия прямую, при повороте вокруг которой на произвольный угол тело остается в равновесии. Для того чтобы ось Oz была осью равновесия, необходимо и достаточно, чтобы, кроме шести уравнений рав ;овесия, выполнялись следующие условия:
F = 0, G = O, 1 + т = 0.
