Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 54

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 205 >> Следующая


Мы укажем в конце главы некоторые формулы для определения центров инерции линий, поверхностей и объемов.

III. Приложения. Произвольные силы в пространстве

106. Примеры равновесия. 1°. Силы, приложенные в центрах тяжести А', В', С', D' граней тетраэдра ABCD, пропорциональные площадям этих граней, им перпендикулярные и направленные внутрь тетраэдра, находятся в равновесии. В самом деле, эти силы по отношению к тетраэдру А'В'С'D', имеющему вершины в центрах тяжести граней данного тетраэдра, находятся в положении, указанном в конце п. 100. Отсюда можно заключить, что силы, приложенные в центрах тяжести граней многогранника, пропорциональные площадям этих граней, нормальные к ним и направленные внутрь многогранника, находятся в равновесии. Для этого достаточно разбить многогранник на тетраэдры и применить к совокупности этих тетраэдров те же рассуждения, что и в первом примере п. 102.

В качестве предельного случая приходим к выводу, что если взять произвольную замкнутую поверхность и к каждому ее бесконечно малому элементу приложить силу, пропорциональную площади этого элемента и направленную по нормали, то полученная система сил находится в равновесии. 134

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

2°. Пары, векторные моменты которых пропорциональны площадям граней многогранника и направлены внутрь нормально к ним, находятся в равновесии. В самом деле, сумма проекций моментов этих пар на произвольное направление равна нулю.

107. Условия, при которых силы, находящиеся в равновесии, могут быть направлены по трем, четырем, пяти, шести прямым. Найдем, как должны быть расположены в пространстве три, или четыре, или пять, или шесть прямых, для того, чтобы по ним можно было направить силы, находящиеся в равновесии. Сделаем сначала следующее замечание. Если несколько сил F2, ..., Fn находятся в равновесии, то сумма их моментов относительно произвольной оси равна нулю, поэтому, если какая-нибудь ось А пересекает направления л— 1 сил, то момент каждой из этих сил будет равен нулю и потому момент последней силы будет также равняться нулю, вследствие чего ось Д пересечет линию действия этой последней силы в точке, находящейся на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Это свойство сохраняется и для мнимой оси, несмотря на то, что нельзя больше говорить о моментах относительно этой оси. В самом деле, пусть (л:', у', z') и (х", у", г") — две вещественные или мнимые точки, Д — прямая, их соединяющая, и Xk, Yk, Zk, Lk, Mk, Nk— проекции и моменты какой-нибудь силы Fjt, приложенной в точке Xjt, yk, Zjt. Условие того, что прямая Д и сила Fjr находятся в одной плоскости, на основании элементарных формул аналитической геометрии, заключается в том, что величина

% = (X" - X') Lk + (у" - у') Mk + (*» - Z') Nh +

+ (у V - Z'у") Xk + (z'x" - x'z") Yk + (х'у" - у'х") Zk

равна нулю. Если силы Fb F2.....Fn находятся в равновесии, то сумма

9Ki-baJt3+ ... +?

равна, очевидно, нулю. Следовательно, если величины. SK1, SJl2,..., равны нулю, т. е. если ось Д пересекает л—1 первых сил, то и 3Jtn равно нулю и ось Д пересекает также и последнюю силу на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Если точка х', у', z' вещественная, то условие 9)1? = 0 означает, что момент Fk относительно этой точки перпендикулярен к прямой Д.

1°. Три прямых. Допустим, что по трем прямым направлены три силы, находящиеся в равновесии. Любая ось, пересекающая две из этих прямых, должна пересекать также и третью. Все три прямые обязательно находятся в одной плоскости-, если две из этих прямых пересекаются в одной точке, то и третья прямая проходит через эту точку, в противном случае, все три прямые параллельны. Эти условия необходимы. Если они удовлетворены, то по этим трем прямым можно, очевидно, всегда иаправить силы, находящиеся в равновесии.

2*. Четыре прямых. Допустим, что по четырем прямым Dx, D2t D3, Di направлены четыре силы, находящиеся в равновесии. Любая ось Д, пересекающая три из этих прямых, должна пересекать и четвертую. Следовательно, если мы остановимся на общем случае, когда никакая пара прямых не лежит в одной плоскости, то линейчатая поверхность второго порядка (гиперболоид или параболоид), представляющая собою геометрическое место осей Д, пересекающих одновременно три прямых, должна содержать и четвертую, как образующую той же системы, что и три первых. Мы получаем, таким образом, необходимое условие, указанное Мёбиусом: необходимо, чтобы D1, D2, D3, Di были четырьмя образующими (одной и той же системы) поверхности второго порядка. Для того чтобы показать, что это условие является достаточным, мы воспользуемся следующим доказательством, Данным Дарбу (статья в первом томе Механики Депейру). ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

135

Возьмем на гиперболоиде четыре образующих D1, D2, D3, Di одной и той же системы. Через точку А (рис. 70) пространства проведем прямые A1, A4, A3, Ai, параллельные этим образующим. Направим по прямой Ai силу Fi и пусть F1, F2, F3 являются составляющими по прямым A1, A2, A3 силы, равной и противоположной силе Fi, и приложенной тоже в точке А. Геометрическая сумма четырех полученных таким образом сил F1, F2, F3, F^ будет, очевидно, равна нулю. Перенесем теперь эти силы параллельно самим себе на прямые D1, D2, D3, Di, после чего получим силы F1, F2, F3, Fi. Эти четыре новые силы "находятся в равновесии. Действительно, их главный вектор равен нулю, и их главный момент будет поэтому одинаковым относительно всех точек пространства. Этот главный момент либо равен нулю, либо перпендикулярен всем образующим Д второй системы гиперболоида, так как каждая такая образующая Д пересекает четыре прямые Db D2, D3, Di и поэтому сумма моментов относительно Д, т. е. проекция главного момента на ось Д, равна нулю.
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed