Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Это предложение позволяет доказать, как мы это сделали в теории векторов (п. 19), следующее свойство:
Можно, не изменяя состояния твердого тела, переносить точку приложения любой силы вдоль ее линии действия, если только новая точка приложения неизменно связана с телом.
Следовательно, вектор силы, приложенной к' твердому телу, связан с прямой, т. е. является скользящим вектором.
Мы покажем, как можно привести к простейшему виду совокупность приложенных к твердому телу сил и вывести отсюда необходимые и достаточные условия равновесия.
97. Приведение сил, приложенных к твердому телу. Равновесие. Согласно предыдущему, состояние тела не изменится, если выполнить следующие элементарные действия. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
127
Присоединить или отбросить две равные прямо противоположные силы; перенести силу в какую-нибудь точку на ее линии действия.
Сложить несколько сходящихся сил в одну или разложить одну силу на несколько сходящихся сил.
Мы видели, что все системы скользящих векторов, полученные при помощи этих элементарных действий, эквивалентны, т. е. имеют одни и те же главные векторы и главные моменты. Наоборот, две эквивалентные системы скользящих векторов могут быть получены одна из другой при помощи этих действий. Следовательно, две системы сил, представляющие собой эквивалентные системы скользящих векторов, могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния твердого тела.
Приведение к двум силам. Как было показано в теории векторов, система сил (S), приложенная к твердому телу, может быть приведена при помощи элементарных операций к двум силам F и Ф, из которых одна приложена в произвольно выбранной точке.
Приведение к силе и паре. Как было показано в теории векторов, произвольная система сил (S) может быть заменена одной силой R, равной главному вектору и приложенной в произвольной Точке О, и одной парой с вектором момента, равным главному Моменту OG относительно точки О.
Равновесие. Для равновесия необходимо, чтобы система (S) была эквивалентна нулю, т. е. чтобы ее главный вектор OR и главный момент OG равнялись нулю. Это условие также и достаточно. 3 самом деле, если оно выполняется, то при помощи элементарных действий все силы могут быть приведены к одной паре с моментом OG, равным нулю, и образованной, следовательно, двумя равными и противоположными силами, лежащими на одной прямой.
Уравнения равновесия. Обозначим через X, Y, Z суммы проекций всех сил на три оси координат, а через L, М, N суммы их моментов относительно тех же осей. Тогда необходимые и достаточные условия равновесия выразятся уравнениями:
Л"= О, K = O, Z= 0; L = O, /И=0, N = 0.
98. Эквивалентные системы Сил. Мы видели в предыдущем разделе, что если две системы сил, приложенные к твердому телу, изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов, то они могут быть заменены одна другой без изменения состояния тела.
Наоборот, если две системы сил (Л) и (В) могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния тела, то они изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов.
В самом деле, рассмотрим систему (—А), получаемую из системы (Л) заменой всех сил на противоположные. Эта система (— А), 128
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
очевидно, уравновешивает систему (А). Но тогда она уравновесит также и систему (В), которая, по предположению, производит такое же действие, как и система (Л). Следовательно, совокупность векторов (—А)-\-(В) эквивалентна нулю, откуда вытекает, что система векторов (А) эквивалентна системе векторов (В).
Когда две системы сил (Л) и (В) могут, быть заменены одна другой без нарушения механического состояния твердого тела, то их называют эквивалентными. Мы видим, таким образом, что для того, чтобы две системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они представлялись двумя эквивалентными системами скользящих векторов,
99. Частные случаи приведения. Для того чтобы система (S) имела равнодействующую, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор OR был отличен от нуля, а главный момент OO либо равнялся нулю, либо был перпендикулярен главному вектору. Тогда равнодействующая будет лежать на центральной оси. Аналитически имеем следующие условия:
AT2+K2 + Z2>0, LX+MY+NZ = 0.
Для того чтобы система (S) приводилась к одной паре, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор равнялся нулю, а главный момент был отличен от нуля:
ЛТ=0, K=O, Z = 0, 00? 0.
100. Другая форма условий равновесия.
Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю. Это условие является, очевидно, необходимым. Оно также и достаточно. В С самом деле, допустим, что оно выполняется для тетраэдра ABCD. Тогда, так как суммы моментов В относительно трех ребер AB, AC, AD, выходя-
Рис. 67. щих из вершины А, равны нулю, то и главный
момент относительно точки А равен нулю. Следовательно, все силы либо приводятся к одной равнодействующей, проходящей через точку А, либо находятся в равновесии. Так как эти рассуждения справедливы для каждой вершины, то силы находятся в равновесии, ибо они не могут иметь равнодействующую, проходящую одновременно через четыре вершины.
