Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
dA = 2ъу ds.
Следовательно,
А = 2ti Jy ds = 2щ I,
что и доказывает теорему.
Если ось пересекает кривую, то найденное выражение для А представляет не полную поверхность, а разность между поверхностями, образованными вращением частей кривой, расположенных по одну и по другую сторону оси, так как в интеграле А элемент yds будет положительным или отрицательным, в зависимости от того, находится ли элемент ds выше или ниже оси.
116. Поверхности. Пусть т — масса элемента поверхности с площадью а. Отношение т/а есть средняя плотность элемента а. Плотность р поверхности в точке P есть предел отношения т/а, когда а есть бесконечно малый элемент, окружающий точку Р. В общем случае р будет функцией двух параметров, определяющих положение точки P на поверхности. Когда плотность р постоянна, поверхность называется однородной.
Пусть da — бесконечно малый элемент поверхности, окружающий точку P с координатами х, у, г. Масса этого элемента равна dm =^ da и, обозначив через M всю массу, а через щ, С координаты центра тяжести, получим
M
= J J р da, Mi = JJ Xf da, Mi) = JJ ур da, MZ = J J zp da.
У однородной поверхности плотность р — постоянна, масса M равна pS, где S — площадь поверхности, и мы получаем
Si
= J J X da, Si) = J J у da, SH= J Jzda.
117. Плоские фигуры. Примем плоскость фигуры за плоскость ху. Координата С будет тогда равна нулю. Элемент da будет иметь разные выражения в зависимости от принятой системы координат. Например, в полярных координатах гиб элемент da будет равен г dr dt, в декартовых косоугольных координатах с углом а между осями он равен sin a dx dy, ...
В частности, для однородной фигуры, отнесенной к прямоугольным декартовым координатам, формулы принимают вид
S = J J dx dy, SC = J J х dx dy, St1 = JJ у dx dy, SH = JJ z dx dy,
где одно интегрирование всегда может быть выполнено.
118. Теорема Гюльдена. Объем, образованный плоской фигурой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры, принимаемой за однородную.
Какой-нибудь элемент dx dy фигуры S при вращении вокруг оси Ox описывает элемент объема, равный разности объемов цилиндров, описанных прямоугольниками ABCD и A'B'CD (рис. 77), т. е. с точностью до величин третьего порядка равный
2ку dx dy. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
145
Обозначая объем через V, получим
V= JJydxdy = 2JtY1S1
что и доказывает теорему.
Заметим, что если ось пересекает фигуру, то полученная формула будет представлять разность объемов, описанных частями фигуры, расположенными по одну и по другую сторону оси.
Как на обобщение этой теоремы, укажем на исследования Кёнигса об объемах, описываемых кривыми (Journal de Jordan, t. V, 1889). См. также заметку Адамара в Bulletin de la Societe mathematique de France, seance du 7 dec. 1898.
119. Объемы. Возьмем в твердом теле объем V, заключающий массу т. Отношение m/v называется средней плотностью выделенной части тела. Когда объем и стремится к нулю, стягиваясь в точку Р, то отношение mjv стремится к пределу р, который называется плотностью в точке Р. Эта величина р является функцией координат точки Р, и, когда она постоянна, тело называется однородным.
Масса dm элемента объема dv, окружающего точку P с координатами X, у, г, равна р dv. Следовательно, обозначая через M всю массу, получим формулы
M
= IIIpdv'
M
= III xVdv' ^ = II I ур dv' ^ = HIzp dv'
Если тело однородно и имеет объем V, ТО M = pV И
v^=IIIxdv' vW//^ ^=IIIzdv-
Выражение dv зависит от избранной системы координат. В косоугольной декарт©вой системе необходимо принять dv равным k dx dy dz, где через k обозначен объем параллелепипеда с ребрами, равными единице и параллельными осям координат. В сферических координатах г, 6, <р для dv получается выражение г- sin 6 dr d6 dy и т. д.
В случае однородного тела можно всегда начинать с выполнения одного интегрирования и привести тройные интегралы к двойным.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Система сил, приложенных к твердому телу, отнесена к косоугольным осям. Показать, что уравнения равновесия имеют тот же вид, что и в прямоугольных осях:
2^ = 0. S^ = 0' Sz* = 0' J^kZk-zkYk) = Q, ...
2. Рассматривается плоский замкнутый многоугольник; ко всем его сторонам, кроме одной, прилагаются силы, пропорциональные этим сторонам, им перпендикулярные, лежащие в плоскости этого многоугольника и напра-вленные^ по отношению к нему наружу. Показать, что эти силы имеют равнодействующую, перпендикулярную к последней стороне и пропорциональную ей. 146
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
3. Доказать, что если несколько сил, приложенных к твердому телу, находятся в равновесии или приводятся к паре, то центр тяжести равных масс, помещенных в концах этих сил, совпадает с центром тяжести равных масс, помещенных в точках их приложения (Крофтон).
4. Вдоль сторон замкнутого пространственного многоугольника P направляют в одну и ту же сторону обхода силы, равные сторонам. Показать: 1) что эти силы приводятся к паре; 2) что если построить в плоскости этой пары многоугольник Il с площадью, равной половине момента пары, то проекция многоугольника P на произвольную плоскость имеет такую же площадь, как и проекция многоугольника П на ту же плоскость (Гишар).
