Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Например, если силы F3, Fi, F5, F6 имеют одну равнодействующую R, то должно быть равновесие между натяжениями M3P и M6Q крайних сторон и этой равнодействующей. Следовательно (п. 107), эти крайние стороны должны пересекаться в некоторой точке на линии действия равнодействующей R.
123. Равновесие веревочного многоугольника. Многоугольник Вариньона. Рассмотрим веревочный многоугольник, находящийся в равновесии под действием сил, приложенных к его различным вершинам. Чтобы исключить всякие недоразумения с направлением натяжений, будем обозначать через Тііі+І натяжение стороны MiM^1, 154
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
которое она испытывает в направлении М4М1+1, а черёз Ti+1, { то же самое натяжение, но в противоположном направлении, так что Т{,і+1 и Т{+1, { являются равными и прямо противоположными силами.
Допустим, что рассекаются стороны M2M3 и M6M7 в точках P и Q и рассматривается часть PM3M4M5M6Q веревочного многоугольника. Эта часть находится в равновесии под действием натяжений T32 и T67, приложенных в точках P и Q, и заданных сил F3, Fi, Fb, Fe, приложенных к промежуточным вершинам. Точка M3, рассматриваемая как свободная, находится под действием силы F3 и двух натяжений T32 и T3i, примыкающих к этой точке нитей; эти три силы находятся, следовательно, в равновесии. Точно так же точка M4 находится в равновесии под действием непосредственно приложенной силы Fi и двух натяжений Ti3 и Tib, примыкающих к этой точке нитей, и т. д. Выражая таким же образом, что каждая вершина находится в равновесии под действием приложенной к ней силы и двух натяжений примыкающих к ней нитей, мы и получим условия равновесия.
Эти условия очень просто выражаются при помощи следующего построения, приводящего к многоугольнику Вариньона. Через произвольную точку А (рис. 79) проведем вектор AA2, равный rf параллельный натяжению T32 первой рассматриваемой стороны и через точку A2 вектор A2A3, равный F3. Так как три силы T32, F3, T3i находятся в равновесии, то вектор A3A, замыкающий треугольник AA2A3, равен и параллелен силе T3i, и поэтому вектор AA3 равен силе T43. Теперь, так как силы Ti3, Fi и Tib находятся в равновесии, то, проведя через конец A3 вектора AA3, равного и параллельного силе Ti3, вектор A3Ai, равный силе Fi, получим вектор A4A, равный силе T45, а противоположно направленный вектор AA4 равен силе T54. Продолжая так шаг за шагом, придем в конце концов к вектору AbAi, равному и параллельному силе Fs, и к вектору AAs, равному натяжению T76. Полученный таким образом многоугольник AA2A3 ... называется многоугольником Вариньона.
Резюмируя сказанное, мы видим, что для того, чтобы рассматриваемая часть PM3M4M5M6Q (рис. 79) веревочного многоугольника была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы после построения векторов A2A3, A3A4, AiAb, AbA6, равных и параллельных силам F3, F4, Fb, Fe, приложенным в вершинах, можно было найти такую точку А, чтобы векторы AA2, AA3, AA4, AAb, AAs были параллельны векторам PM3, M3M4, M4M5, M6M6, M6Q и направлены в стороны, им противоположные. Это последнее условие вытекает из того, что такой вектор, как AA3, должен быть равен натяжению T43, которое направлено в сторону M4M3.
Эти условия также и достаточны. Если они выполняются, то каждая вершина Mi будет находиться в равновесии под действием силы Fi и двух натяжений Tii_l и Tij i+1, равных соответственно векторам AAi^l и AiA. ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
155
Главный момент крайних натяжений T32, T67 и сил F3, Fi, F5, F6 будет равен нулю, так же как и главный момент каждой из сил Fi
я двух натяжений Tit
приложенных в точке Mi. Следо-
вательно, рассматривая моменты сил и натяжений относительно одной и той же точки, мы получим векторы, для которых можно построить многоугольник, аналогичный многоугольнику Вариньона.
Может случиться, что будут выполнены все условия равновесия, кроме тех, которые касаются направления натяжений сторон. Тогда некоторые из сторон будут сжиматься вместо того, чтобы быть растянутыми, и равновесия не будет. Для того чтобы оно было, надо заменить эти стороны твердыми стержнями, которые способны сопротивляться сжатию.
124. Условия на концах. Указанные нами условия равновесия должны выполняться для любой части многоугольника. Крайние вершины веревочного многоугольника могут быть подчинены разного вида условиям, которые называются условиями на концах.
1°. Свободные концы. Может случиться, что веревочный многоугольник MiM2 ... Mn является свободным в пространстве и его концы Mi и Mn свободны и находятся под действием заданных сил Fi и Fn. Допустим, для упрощения, что я = 5 и, следовательно, рассматривается многоугольник MiM2M3MiM5. Тогда натяжения крайних звеньев MiM2 и MiM5 известны. В самом деле, так как Mi находится в равновесии под действием Fi и натяжения Ti2, то это натяжение равно и противоположно Fi. Рис. 80.
Точно так же T5i равно и
противоположно F5. Если построить многоугольник Вариньона, соответствующий полному веревочному многоугольнику, то первое звено AA1 будет равно и параллельно F1, второе AiA2 равно и параллельно F2, и т. д., последнее AiAb равно и параллельно F5 (рис. 80). Построенный таким образом многоугольник является многоугольником сил F1, F2, F3, Fi, F5. Этот многоугольник должен быть замкнутым, т. е. точка Ab должна совпадать с точкой А, так как силы Fk должны удовлетворять условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, и их главный вектор должен равняться нулю. Натяжения Tk+hk равны и параллельны диагонали AAk многоугольника Вариньона.
