Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Концы Mi и Mn закреплены в неподвижных точках. Необходимо тогда принять в качестве вспомогательных неизвестных 156
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
силы F1 и Fn, представляющие действия неподвижных точек на концы M1 и Mn или, что то же, натяжения T2 и Тп_1п.
3°. Веревочный многоугольник замкнут. Многоугольник замкнут, когда последняя точка Мъ непосредственно • связана с первой M1 при помощи нити. В этом случае можно применить общие условия равновесия и построение Вариньона ко всему многоугольнику, разрезав мысленно нить M1Mi в двух точках PhQh приложив вдоль M1P натяжение T1- и вдоль AI5Q натяжение Tbl. Тогда надо
будет провести через точку А вектор AA0, равный и параллельный натяжению Tlb и далее векторы A0A1, A1A2.....A4Ai, равные и параллельные силам F1, F2, ..., Fi (рис. 81). Натяжения нитей будут равны и параллельны векторам AA1, AA2, .. . ..., AAi, причем натяжение Tli будет равно и параллельно вектору AA0, натяжение T21 равно и параллельно вектору AA1 и т. д, натяжение Tk+1 к — вектору AAk и т. д. Последнее натяже-ние Tli будет равно и параллельно -'* вектору AAi; точки Ai и A0 совпадают, так как AA0 также равно T15.
Следовательно, для равновесия замкнутого веревочного многоугольника необходимо и достаточно: 1) чтобы многоугольник сил, непосредственно приложенных, был замкнут; 2) чтобы существовала такая точка А, для которой каждая из сторон МгМг+1 веревочного многоугольника была параллельна и противоположно направлена диагонали AAr.
Примечание. Если число сторон веревочного многоугольника неограниченно возрастает, причем каждая из этих сторон стремится к нулю, то как этот многоугольник, так и многоугольник Вариньона обращаются в кривые. Этот предельный случай будет изучен в параграфе II.
В общем случае фигура равновесия будет пространственным многоугольником. Этот многоугольник будет плоским в случаях, когда снлы F2,..., Fn^1 сходятся или параллельны.
125. Сходящиеся силы. Если все силы F, кроме крайних F1 и Fn, пересекаются в одной точке, то независимо от того, будет ли многоугольник замкнутым или нет, его фигура равновесия будет плоской и моменты всех натяжений относительно точки пересечения сил будут равны.
Пусть О — точка пересечения сил. Как мы видели, можно считать, что материальная точка M2 находится в равновесии под действием силы F2 и натяжений T2J и T23. Так как эти силы уравновешиваются, то они лежат в одной плоскости, и, следовательно, точки M1, M2, Ms, О находятся в одной и той же плоскости Р. Таким же путем убеждаемся, что точки M2, M3, M4, О тоже лежат в одной плоскости, которая совпадает с Р, так как имеет с ней три общие точкй О, M2I M3, и так далее. Следовательно,
Рис. 81. ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
157
фигура равновесия является плоской, и ее плоскость проходит через точку О.
Так как точка Al2 находится в равновесии под действием сил F2,, T21, T23, то алгебраическая сумма моментов этих сил относительно точки О равна нулю. Но так как момент силы F2 равен нулю, то сумма моментов сил 7"21 и T23 равна нулю, откуда вытекает, что момент силы T12 равен моменту силы Tn. Продолжая таким же образом дальше, убеждаемся, что все натяжения Trtfjrl имеют одинаковые моменты относительно точки О (рис. 82).
126. Параллельные силы. Фигура равновесия будет также плоской, когда все силы, кроме двух крайних, параллельны. В этом случае проекции натяжений на перпендикуляр к общему направлению сил равны.
Первая часть этого предположения докажется так же, как и для сходящихся сил. Для доказательства второй части-замечаем, что так как силы F2, T21, T23 находятся в равновесии, то сумма
их проекций на направление хх', перпендикулярное силам, равна нулю. Но так как проекция силы F2 равна нулю, то отсюда следует, что проекция T12 равна проекции T23 и точно так же равна проекции Tii и т. д.
Допустим, например, что оба конца многоугольника подвешены к двум неподвижным точкам и что силами, действующими на промежуточные
вершины, являются веса. Тогда многоугольник будет находиться в вертикальной плоскости, проходящей через две неподвижные точки. Допустим, кроме того, что имеется горизонтальное звено Af0Af1, натяжение которого мы обозначим через T0. Натяжения следующих звеньев M1M2, M2M3, ... будут T12, Tos, • • •. а их углы наклона к горизонту обозначим через O1, OLi, ... На точки Al1, Af2, ... действуют веса рь р2, ... Для построения в рассматриваемом случае многоугольника сил для части Af0, Af1, Af2,... веревочного многоугольника (рис. 83) необходимо провести через некоторую точку А в направлении Af1Af0 вектор AB, равный и параллельный натяжению 7"0, далее — векторы BB1, B1B2.....равные и параллельные силам pv р2, ... Точки В, B1, Во, ... находятся на одной вертикали, а диагонали AB1, AB2, ... параллельны сторонам Al1Al2, Al2Af3,... и равны натяжениям T21, T32. Имеем, следовательно:
Рис. 83.
Л
Iga1= у-
tg O2 =
Pl + Pl
tg «fc:
Pl + Pi +
+Pk
T » -fcs -Ii T і
О jO jO
T0 = T21 cos O1 = T32 cos я2 = ... = Tji+i, k cos 0?.
Если предположить, что число вершин Af1Af2... неограниченно возрастает, причем каждая сторона стремится к нулю, то многоугольник 158
