Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
12. Астатическое равновесие. Говорят, что равновесие является астатическим, когда при тех же условиях в отношении сил, что и в предыдущем упражнении, это равновесие существует, каково бы ни было заданное положение тела. Для этого необходимо, чтобы каждая из трех осей координат Ох, Oy, Oz была осью равновесия, т. е. чтобы, кроме шести условий равновесия, выполнялись еще следующие шесть условий:
F = 0, G = O, H = 0, / = 0, т = 0, п = 0.
Эти условия, необходимые для астатического равновесия, являются и достаточными.
13. Если на тело действуют две постоянные по величине и направлению силы, приложенные в двух фиксированных точках, то всегда существует ось, параллельная заданному направлению, причем такая, что если ее закрепить, то тело будет оставаться в безразличном равновесии во всех положениях, которое оно может принимать (Мёбиус).
14. Если тело находится в астатическом равновесии и действующие силы параллельны данному направлению, то система параллельных сил находится в равновесии. Центр тех из этих параллельных сил, которые направлены в одну сторону, совпадает с центром параллельных сил, направленных в противоположную сторону. 148
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
15. Рассмотрим твердое тело, находящееся под действием сил, приложенных в фиксированных точках этого тела и постоянных по величине и направлению. Каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы можно было привести тело в состояние астатического равновесия присоединением только одной силы, приложенной в фиксированной точке P и постоянной по величине и направлению?
Ответ:
JxX _ JxY _ JxZ JXJY - JZ-
и две аналогичные пропорции, в которых х должен быть заменен через у или z. Тогда точка P существует и называется центром сил системы. В этом случае координаты точки ш, подлежащей определению в упражнении 9, не зависят от положения тела. Эта точка как раз и будет точкой Р.
16. Найти также условия, чтобы существовала центральная линия, т. е. чтобы точка <л описывала прямую. В этом случае всегда можно присоединить к системе две силы, чтобы осуществить астатическое равновесие.
17. Если точка ш описывает плоскость (центральную плоскость), то можно соответствующим образом присоединить к системе три силы, чтобы осуществить астатическое равновесие.
18. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, находится под действием сил, приложенных в неизменно связанных с телом точках и постоянных по величине и направлению. Каким условиям должны удовлетворять эти силы, чтобы тело оставалось в равновесии во всех положениях, которые оно может принимать вокруг неподвижной точки (астатическое равновесие рычага)?
19. Тот же вопрос в предположении, что тело может вращаться вокруг оси.
20. Тот же вопрос в предположении, что тело может не только вращаться вокруг оси, но и скользить вдоль нее.
21. Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки или оси, находится под действием сил, приложенных в неизменно связанных с телом точках и постоянных по величине и направлению. Найти положения равновесия тела. (См. упражнение 23; см. также M у а н ь о, Lefons de Мёса-nique analytique d'apres Cauchy, стр. 234.)
22. Дана система сил, приложенных к твердому телу, и произвольный триэдр OP, OQ, OS. Каждая из сил Fjc разложена на три составляющие />ft( qk, Sjt, параллельные ребрам триэдра. Обозначим через А центр параллельных сил рк и через P=JiPjc их равнодействующую, а через В и q, С и s —то же для сил qk и sft. Показать, что произведение площади треугольника ABC на объем параллелепипеда, имеющего ребра р, q, s, постоянно, какова бы ни была ориентация триэдра OPQS (Миндинг).
23. Упражнения к теореме Миндинга. 1°. Взята произвольная прямая Д, опирающаяся на два фокальных конических сечения, найденных в упражнении 10. Показать, что существует положение тела (т. е. система значений девяти направляющих косинусов), при котором силы приводятся к одной равнодействующей, направленной по Д. (Нужно заметить, что так как подвижные оси могут совпадать с неподвижными, то определитель девяти косинусов равен + 1; целесообразно выразить косинусы через углы Эйлера.)
2°. Через произвольную точку P тела можно провести четыре прямых, опирающихся на два фокальных конических сечения. Существуют, следовательно, четыре положения тела, для которых силы имеют равнодействующую, проходящую через точку тела. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
149
3°. Если силы, действующие на тело, остаются постоянными по величине и направлению и приложены в фиксированных точках тела и если, кроме того, эти силы приводятся к паре, то существует четыре положения равновесия тела.
(В самом деле, пусть Fi, F2, ..., Fn — силы и A1, A2, ..., An — точки их приложения. Главный вектор R сил F2, F3, ..., Fn равен и противоположно направлен силе F1. Согласно предыдущему существует четыре положения тела, при которых силы F2, F3.....Fn имеют одну равнодействующую R, проходящую через точку Ai тела. Эти четыре положения будут, очевидно, положениями равновесия, поскольку для них R и F1 равны и прямо противоположны.)
