Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
2°. 2^? = °. L2+ M2+ Л/2 > 0- Одна пара с вектором момента L, М, N.
Оо Vin Г. 2 Ркхк 2 РкУк 2 ркгк п
3 . ZjPfe = O1 —-= о—= —-. Равновесие.
^k а ? f
Астатическое равновесие. Допустим, что твердое тело перемещается, но параллельные силы сохраняют величину, линию действия и направление (относительно неподвижных осей) и остаются приложенными в одних и тех же фиксированных точках тела. Равновесие называется астатическим, если оно осуществляется при любом положении тела, или, что одно и то же, при любом направлении сил относительно тела, т. е. каковы бы ни были а, ?, у. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись уравнения
S^Jk=O1 22лл=о, 2?=о-
В этом случае центр сил, направленных в одну сторону, совпадает с центром сил, направленных в противоположную сторону, так что обе системы сил всегда уравновешиваются.
104. Центр тяжести. Мы уже дали определение веса материальной точки: это — вертикальная сила, интенсивность которой р равна массе точки, умноженной на ускорение тяжести g, одинаковое в одном и том же месте для всех тел. Направление вертикали изменяется с изменением места; наблюдения показывают, что величина g изменяется с высотой и широтой места; но эти изменений ничтожно малы в границах тела обычных размеров. Следовательно, тяжелое твердое тело можно рассматривать как совокупность большого числа связанных между собой материальных точек, находящихся под действием параллельных вертикальных сил, приложенных к этим точкам и пропорциональных их массам. Равнодействующая этих сил, равная их сумме, называется весом тела. Точка приложения этой равнодействующей или центр параллельных сил, приложенных к материальным точкам, называется центром тяжести. Он занимает в теле положение, не зависящее от ориентации тела, так как если тело перемещается, то для наблюдателя, связанного с ним, все происходит так, как если бы тело было неподвижно, а параллельные силы поворачивались на один и тот же угол вокруг своих точек приложения, что не изменяет положения центра параллельных 132
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
сил. Таким образом, центр тяжести тела — это точка, через которую всегда проходит его вес, каково бы ни было положение тела. Если, следовательно, закрепить центр тяжести тела, предоставив ему свободу вращаться вокруг него, то тело, находясь под действием только тяжести, будет оставаться в равновесии в любом положении, которое оно может принять.
106. Координаты центра тяжести. Пусть тт2, ..., тп — массы материальных точек, составляющих твердое тело, рх, р2.....
Pn-чх веса, (X1, уи Z1), (х2, у2, z2).....(хп, уп, zn)~ координаты
этих точек, a P и M— вес и масса всего тела. Имеем
Pk=Mkg. Р=Р^+Рг + ••• +Pn=Mg-
Если обозначить через ?, tj, С координаты центра тяжести, то их можно определить по формулам для центра параллельных сил
g — PixI + Рзх ? + ••• +PnXn ^m1X1+ т2х2 + ... + тпхп Pi +Pi+ ••• +Pn тх + т2+ ... +тп
или, короче,
с _ ^ipx _ 2 тх _ Jpy _ Jmy . _ JPz _ J тг
-Jp -Jm ' 1]—JV~~J^'
Отсюда видно, что положение центра тяжести в теле обычных размеров зависит только от масс точек.
Это заключение очень важно, так как оно позволяет распространить понятие центра тяжести на системы невесомые. А именно, в некоторых вопросах, относящихся к материальным. точкам с массами
Wi1, т2.....тп, не связанных неизменно между собой, полезно
ввести точку, координаты которой определяются предыдущими формулами. Эту точку, которую Эйлер предложил называть центром инерции *), продолжают часто называть центром тяжести, несмотря на то, что соображения, приводящие к понятию центра тяжести, не применимы к рассматриваемым вопросам. Центр инерции расположен, очевидно, внутри любой выпуклой поверхности, окружающей рассматриваемые точки (п. 32, примечание II).
Разница между центром инерции и центром тяжести для тел больших размеров изучена Лильесштрёмом (Comptes Rendus, т. 162, 1916, стр. 155).
Если известны центры тяжести G1 и G2 двух частей тела с массами M1 и M2, то можно найти сразу центр тяжести всего тела, так как он является центром параллельных сил M^ и M^g, приложенных в точках G1 и G2. Вообще, если известны центры тяжести G1, G2, ..., Gp и массы M1, M2.....Mp нескольких частей
тела, то центр тяжести всего тела есть центр параллельных сил 'Mtg, Mvg.....Mpg, приложенных в точках G1, G2, ..., Gp. Обозначая через Jc1, у1% Z1, х2, у2, z2, ..., хр, ур, Zp координаты цент-
*) Ее называют также центром масс. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
133
ров тяжести этих различных частей, получим для координат tj, С центра тяжести тела следующие формулы:
M1X1+ M2X2+ ... +Мрхр _jMy r J Mz
Мі + м2+...+мр ' м'
Когда желают определить центр тяжести произвольного тела заданной формы, например какой-нибудь металлической массы, то нужно применить полученные формулы к телу, образованному очень большим числом материальных точек, расположенных на очень малых взаимных расстояниях. Этой трудности можно избежать, рассматривая тело как непрерывное, что не соответствует действительности, но дает вполне достаточное для приложений приближение. Мы отсылаем читателя, желающего получить более подробное представление о законности такой замены заданного тела сплошным, к главе VI Механики Пуассона, относящейся к теории притяжения тел. Уподобляя таким образом твердое тело некоторому сплошному объему, мы предполагаем его разложенным на бесконечно большое число бесконечно малых частей и помещаем центр тяжести каждой из таких частей в какой-нибудь точке ее массы. Тогда формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, разбитого на части с массами M1, M2, ..., Mp, сохраняются при условии замены сумм, входящих в числители и знаменатели, тройными интегралами. Если тело имеет очень малую толщину по сравнению с другими своими измерениями, то его уподобляют поверхности. Таким является, например, очень тонкий лист бумаги или металла. Точно так же имеются случаи, когда тело можно рассматривать как линию; таким является случай длинной и тонкой нити.
