Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
f(x, у, 2) = О
—-уравнение поверхности в прямоугольных координатах и X, Y, Z— проекции силы F. Проекциями нормальной реакции MN являются величины, пропорциональные направляющим косинусам нормали к поверхности, т. е. величины вида
>¦?• W
Так как должно иметь место равновесие между этой реакцией и силой F, то должны выполняться условия
*+х| = о, к+х| = о, Z + X | = 0,
которые совместно с уравнением поверхности f(x, у, Z) = 0 составляют систему четырех уравнений для определения X, у, Z и X. Пусть M — точка поверхности, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям. Если материальная точка не может покинуть поверхность ни с одной, ни с другой стороны, то в этой точке будет равновесие. В противном случае необходимо приписать коэффициенту X определенный знак. Допустим, например, что точка может покинуть поверхность в ту сторону, где функция fix, у, z) становится положительной. Тогда необходимо, чтобы сила была направлена в сторону, где функция f (х, у, z) отрицательна. Реакция будет направлена в противоположную сторону. Но вектор с проекциями
dL dJ-
дх' ду' дг
направлен относительно поверхности в ту ее сторону, где функция fix, у, z) положительна, что вытекает из таких же соображений, какие были сделаны в п. 83 относительно поверхностей уровня, если их применить к поверхностям f(x, у, Z) = const. Так как реакция N должна быть направлена в ту же сторону, то X должно быть положительно.
В случае, когда точка не может оставить поверхность, вычисления могут быть упрощены следующим образом. Выразим прежде всего координаты точки поверхности в функции двух параметров Q1 и q2. Пусть, например,
X=^iq1, q2), у = ^iq1, q2), z = со (^1, q2).
Для того чтобы имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы сила F была перпендикулярна к поверхности, т. е. к каждой из двух кривых, которые получатся, если положить последовательно 118
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
сначала ^1=Const, а затем <72 = const. Следовательно, уравнения задачи будут
Ql = Xd*+Yp- + z?- = 0. 4:1 dq! dq1 ^ dqt
Q2 = Xd^ + Yp-+Z^ = 0.
1 Oq3
Величины JC1 у, z, которые зависят от положения точки М, будут функциями от <7j и q2, и полученные уравнения относительно q1 и q2 определяют значения параметров для положений равновесия. Интересен случай, когда выражение
Qi dq1+Q2dq2,
где Q1 и Q2 — левые части написанных выше уравнений, есть полный дифференциал некоторой функции U (qv q2). Тогда для нахождения равновесия нужно будет приравнять нулю частные производные Q1 и Q2 функции U, т. е. искать максимум и минимум этой функции двух независимых переменных q1 и q2. Для этой функции можно написать
U(qv q2)= J Xdx+Y dy + Zdz,
где во второй части все величины должны быть выражены через qt и q2. В частном случае, когда сила F имеет потенциал, будет иметь место равенство
J Xdx + Y dy+ Zdz = U (X, у, г)
при любых X, у, г, и функция U {qv q2) будет существовать. Она получится из U (х, у, г) после замены координат их выражениями в функции <7t и q2. Поверхность уровня, проходящая через положение равновесия M1, будет в общем случае касаться в этой точке заданной поверхности S, так как сила в точке M1 одновременно нормальна и к поверхности уровня, и к поверхности 5.
Мы покажем в динамике, что если в каком-нибудь положении движущейся точки функция U (qv q2) действительно имеет максимум Uv то соответствующее положение равновесия устойчиво. Так же, как и для рассмотренного выше случая свободной точки, в этом можно отдать себе отчет, исследуя вид кривых на заданной поверхности S, определяемых уравнениями
U=U1 ± є.
92. Точка, движущаяся без трения по неподвижной кривой.
Пусть задана неподвижная кривая С и на ней точка М, движущаяся без трения под действием сил, равнодействующая которых есть F. Так же, как и в случае точки, движущейся по поверхности, убеждаемся, что при равновесии сила F, если она не равна нулю, должна ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ 119
быть нормальна к кривой. Если это условие выполнено, то сила F будет уравновешиваться сопротивлением кривой, и равновесие будет иметь место.
Действие кривой на точку выражается нормальной силой MN, которая называется нормальной реакцией. Точка M оказывает на кривую давление, равное и противоположное этой реакции. Если точка находится в равновесии, то нормальная реакция равна силе F, но противоположна ей, а давление точки на кривую есть сама сила (рис. 66). P
Пусть
f(x, у, Z) = 0, Мх, у, г) = О
— уравнения кривой, отнесенной к трем прямоугольным осям, и X, Y, Z—проекции равнодействующей F сил, приложенных к точке Міх, у, г). Для того чтобы выразить, что имеет место равновесие, достаточно написать, Рис. 66.
что сила F равна и прямо противоположна
нормальной реакции N. Эта последняя может быть всегда разложена на две другие, направленные по нормалям MN' и MN" к двум поверхностям /=O и Z1 = O, пересечение которых определяет заданную кривую, так как все три направления MN, MN' и MN" лежат в одной нормальной плоскости. Эти две составляющие MN' и MN" реакции имеют соответственно проекции
