Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве приложения докажем, что четыре силы, приложенные в четырех вершинах тетраэдра (рис. 67), пропорциональные площадям противоположных граней и направленные нормально к ним, находятся в равновесии. Для этого покажем, что суммы моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равны нулю. ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
129
В самом деле, пусть а, ?, f, В — силы, приложенные к вершинам А, В, С, D тетраэдра. Тогда
a = k - пл. BCD, ? = k ¦ пл. CDA, 7 = k ¦ пл. DAB, 5 = k ¦ пл. ABC.
Возьмем моменты относительно ребра CD: моменты сил f и J равны нулю, моменты сил а и ? противоположны по знаку. Так как сила а направлена по высоте AA', то угол между а и CD — прямой, и кратчайшим расстоянием между а и CD является перпендикуляр А'А", опущенный из А' на CD; следовательно, абсолютное значение момента силы а относительно CD равно
а ¦ A'A" = a . AAr-ctg <Р = k ¦ пл BCD ¦ AAr-Clgy = SkVrtgy,
где V—объем тетраэдра и <р — двугранный угол при ребре CD. Такое же абсолютное значение имеет и момент силы ?. Следовательно, сумма моментов относительно произвольно взятого ребра CD равна нулю.
II. Приложения. Силы в плоскости.
Параллельные силы. Центр тяжести
101. Силы в плоскости. Примем плоскость, в которой лежат силы, за плоскость ху. Очевидно, имеем:
Z = О, L = О, Ж=0, LX+MY + NZ = 0.
Следовательно:
если X2-)- Y2 > 0, то система приводится к одной равнодействующей, лежащей в плоскости и направленной по центральной оси;
если X=Q, Y = 0, a 0, то система приводится к паре;
если X=Q, К = 0, N = 0, то система находится в равновесии.
Когда N = 0, то силы либо имеют равнодействующую, проходящую через точку О, либо находятся в равновесии. Следовательно, если сумма моментов сил относительно двух точек плоскости равна нулю, то либо равнодействующая проходит через эти точки, либо имеет место равновесие. Если, наконец, эта сумма равна нулю для трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, то возможно только равновесие.
102. Примеры. 1°. Возьмем в плоскости ху произвольный многоугольник и приложим к середине каждой из его сторон силу, пропорциональную длине этой стороны, перпендикулярную к ней и направленную в сторону, внешнюю по отношению к многоугольнику. Эти силы находятся в равновесии. Докажем это предложение геометрически. Сделаем это сначала для треугольника, обозначив его через ABC (рис. 68).
Три силы A' (k ¦ ВС), В' Ik • АС), С' (k ¦ AB) пересекаются в одной точке, как перпендикуляры в серединах сторон треугольника. Более того, сумма их проекций на произвольную ось равна, очевидно, нулю. Следовательно, эти силы находятся в равновесии.
Переходим теперь к случаю произвольного многоугольника. При помощи диагоналей, проведенных из одной вершины, разобьем его на треугольники. В середине каждой стороны полученного треугольника приложим силу, пропорциональную длине этой стороны, ей перпендикулярную и направленную 130
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
в сторону, внешнюю по отношению к соответствующему треугольнику, По доказанному, вся эта система сил находится в равновесии. Но в середине каждой диагонали приложены две равные и противоположно направленные силы; их можно, следовательно, отбросить, не нарушая равновесия, и тогда останутся лишь силы, приложенные к серединам сторон многоугольника. Предложение, таким образом, доказано.
2°. Дан плоский многоугольник ABCDE (рис. 69, а), на котором избрано какое-нибудь направление обхода. Приложим в каждой вершине этого многоугольника силу, направленную по стороне, оканчивающейся в этой вершине, и пропорциональную длине этой стороны. Если многоугольник выпуклый, то эти силы приводятся к паре. В самом деле, сумма проекций этих сил на любую ось равна нулю, так как она равна ^-кратной величине проекции замкнутого многоугольника ABCDE, но сумма моментов относительно произвольной точки О плоскости многоугольника отлична от нуля. Действительно, эта сумма равна
N = ± 2k (пл. OAB + пл. OBC + -..),
Т. е.
N = ± 2А-ШІ. ABCDE.
Таким образом, равновесия нет.
Если многоугольник вогнутый, то такого результата не получится. В самом деле, возьмем многоугольник A'B'C'D'; сумма моментов относительно точки О плоскости (рис, 69, б) будет равна
± 2k (пл. D'IC' — пл. В'IA').
Следовательно, равновесие получится только тогда, когда треугольники D'IC' и В'IA' равновелики.
103. Параллельные силы. Пусть на твердое тело действуют параллельные силы. Обозначим через а, ?, ^ направляющие косинусы полупрямой OD, параллельной направлению сил, через P1, P2, ¦ ¦ ¦, Pn — алгебраические значения этих сил, которые мы считаем положительными в сторону OD и отрицательными в противоположном направлении, и через хк, ук, Zk — координаты точки приложения Pk. Тогда могут представиться следующие различные случаи (п. 29). ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
131
I-0. JPk^.Q- Одна равнодействующая, параллельная данному направлению, имеющая алгебраическое значение JPk и приложенная в центре параллельных сил
2 ^ Г)= Jp^k JPkZu
Jp* ' 4 S^ ;
положение которого не зависит от направления сил.
