Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
22 = (2> 122
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Аналогично получаем
22к. = о, j 22z. = o. і
Таким образом, получены три необходимые для равновесия условия, связывающие проекции внешних сил. Три других уравнения получатся, если ввести моменты.
Вернемся к уравнениям (1). Умножим первое из них на —у, второе на X и сложим. Имеем
2 (X Yi — у Xi) + J(xYe — уХе) = 0.
Написав аналогичные уравнения для всех точек системы и почленно сложив их, получим
JJixYi- у Xi) + JJixYe-у Xe)= 0.
Но 2 2 (jc^i-УXi) есть сумма моментов всех внутренних сил относительно оси Oz. Это выражение будет равно нулю, так как все внутренние силы попарно равны и прямо противоположны. Таким образом, мы приходим к уравнению
SS(*Ke—^e)=o (3)
н аналогично к уравнениям
JJiyZe-zYe) = Q, j JJ(zXe — xZe) = 0. J
Полученные таким образом шесть необходимых условий (2) и (3) могут быть высказаны следующим образом.
Для того чтобы произвольная система находилась в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций внешних сил на каждую из трех осей и сумма их моментов относительно каждой из этих трех осей равнялись нулю.
Эти условия можно высказать и в форме, не зависящей от каких бы то ни было осей, следующим образом.
Для того чтобы произвольная система находилась в равновесии, необходимо, чтобы внешние силы составляли систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.
Это условие можно выразить при помощи одного из методов первой главы. Можно, например, при помощи элементарных операций привести систему векторов к простейшему виду и окончательно получить или два равных и прямо противоположных вектора, или равные нулю главный вектор и главный момент.
Примеры. 1°. Представим себе сосуд с водой, находящейся в равновесии под действием силы тяжести. Рассматриваемая система образована частицами воды. Внутренними силами являются взаимодействия между этими ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
123
частицами. Внешними силами являются действия тел, не принадлежащих системе, на точки системы. Этими силами будут: 1) веса частиц воды; 2) действия стенок сосуда на соприкасающиеся с ними частицы; 3) давления, производимые воздухом на свободную поверхность. Для того чтобы имело место равновесие, необходимо, чтобы совокупность всех этих внешних сил образовывала систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.
2°. Вообразим тяжелую цепь, подвешенную своими обоими концами к двум неподвижным точкам А и В. Внешними силами, действующими на цепь, являются: 1) веса различных звеньев; 2) действия, вызываемые неподвижными точками А и В. Цепь тянет эти точки, и, наоборот, эти точки действуют на цепь двумя силами Fa и Fb, приложенными на ее концах. Для того чтобы было равновесие, необходимо, чтобы все внешние силы были эквивалентны нулю. Веса образуют систему параллельных векторов, эквивалентную одному вектору Р, равному весу цепи и приложенному в ее центре тяжести. Три вектора Р, Fa и Fb и должны составлять систему, эквивалентную нулю.
3°. Твердое тело. Если рассматриваемая система является твердым телом, то указанные шесть необходимых условий равновесия будут также и достаточными, что будет показано в следующей главе.
96. Разделение произвольной системы на части. Необходимые условия равновесия. Выделим мысленно из материальной системы S какую-нибудь ее часть S1 так, чтобы система оказалась разделенной на две части, из которых одна состоит из точек S1, а другая (S— S1) из остальных точек, образующих систему. Если система находится в равновесии, то в равновесии будет и каждая ее часть, например часть S1. Тогда можно применить полученные результаты к части S1, рассматривая ее как систему в равновесии. Приложенные к части S1 силы, внешние для нее, должны составлять систему скользящих векторов, эквивалентную нулю. Таким путем, рассматривая последовательно различные части полной системы, мы получим все необходимые условия равновесия.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что если п сходящихся сил находятся в равновесии, то их общая точка приложения является центром масс п точек с равными массами, размещенных по концам сил.
2. Найти положение равновесия свободной точки М, притягиваемой к неподвижным центрам O1, O2, ..., On силами, обратно пропорциональными расстояниям. Доказать, что: существует силовая функция log MO1-MO2 ¦ ¦ ¦ MOn^ каждое положение равновесия О' есть центр средних расстояний между точками, обратными к Ojc относительно О'; если точки Ou лежат в одной плоскости и если составить многочлен, корнями которого будут комплексные числа г, изображающие точки Оь то положения равновесия будут определяться корнями производной от этого многочлена по г. (Шаль, см. Lucas, Comptes rendus, 1879 и 1888 и Juhel-Renoy там же, 1906, и Nouvelles Annales de Mathematiques 4 серия, т. VII, 1907.)
3. Точка M находится в равновесии в определенном положении А под
действием определенных сил P1, P2.....Pn. На линии APk берется точка Okt
?
причем так, что AOk = (HPk)4, где h и ч — постоянные (vz — 1). Показать,. 124
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
