Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
а — г = ае cos и,
что возможно, так как а — г все время меньше, чем ае; переменная и за полный период обращения изменяется от 0 до Тогда получим уравнение
—dt = а (1 — е cos и) du, а
которое непосредственно интегрируется, и так как при t = i величина и обращается в нуль, то
а У a v
х) = и — е sin и. 3.356 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Таким образом, t выражено в функции и, г и связано с г соотношением
r = a{ 1 — е cos и). (1)
Если надо вычислить положение движущейся точки в момент t, то первое из этих уравнений определит и, а второе позволит вычислить г.
Введенный нами угол и называется эксцентрической аномалией. Обычно пишут левую часть уравнения, связывающего г и и, в виде n(t — т), полагая
n = !iA..
а V а
Тогда n(t — т) есть то, что называют средней аномалией. Так как для [а было найдено значение
_4 я2дЗ
Iі - pz »
то п = -у-> гДе T — период обращения, и уравнение для и принимает вид
n(t — z) = u — esinw; (2)
оно показывает, что действительно должно быть п = '-у> так как правая часть увеличивается на 2и одновременно с и, т. е. после каждого оборота. Коэффициент я = Щг называется средним движением. Полученное нами уравнение носит название уравнения Кеплера.
Мы выразили г в функции и; остается теперь выразить в функции и истинную аномалию w. Для этого будем исходить из уравнения эллипса в полярных координатах:
а (1—г2)
Г —
1 + е cos W '
В этом уравнении числитель равен параметру р. Приравнивая это значение г найденному выше значению а(1 — ecosu), получим уравнение
1_ег
1 — е cos и = .—:-,
1 + е cos W
откуда находим:
/1,ч/1 ч 2а (1 + е) sin2
, 0 . , W (1 + е) (1 — cos и) 4 ^ ' 2
1 — cos W = 2 Stn2 = і—-- = —-,
2 1 — е соз и г
/1 ч/і і ч 2а (1 —е) COS2-Tc
, , 0 , W (1 — е) (1 + cos и) _2
1 -j- cos w = 2 cos2 ту ' -----------
1 — е COS и ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
357
и, извлекая квадратные корни, получаем
• е) cos
2 •
(3)
Эти формулы, удобные для вычислений при помощи логарифмов, позволяют определить г и W в функции и. Делением получаем из них соотношение
W
tor - =
& 2
V 1 — е & 2 •
связывающее истинную и эксцентрическую аномалии.
238. Геометрический метод. Для определения положения планеты на ее орбите в момент времени t можно применить геометрический метод, который указывает смысл введенных выше переменных. Из-
вестно, что эллипс можно рассматривать как проекцию описанного круга, который нужно повернуть вокруг большой оси AA' на угол, косинус которого равен Ь/а. Пусть Ж—точка эллипса и M' — соответствующая точка описанного круга (рис. 151). Тогда
пл (MFA) = А пл (M'FA).
м" M'
і W \ \ )
д' о FH Д
J'
ff
В
Рис. 151.
Угол MFA есть угол w, названный ранее истинной аномалией, а угол М'ОА равен эксцентрической аномалии и. В самом деле, площадь сектора MrFA равна
M'FА = М'ОА — M'OF :
а^и ¦
а2е sin и.
т. е.
M'FА = —L. (и — е sin и).
и, следовательно,
MFA:
ab
(и — е sin и).
Площадь этого сектора пропорциональна времени, затрачиваемому на то, чтобы описать ее. Следовательно, если обозначить через (t — і) это время, а через T период обращения, то должно быть
пл (MFA) _ ъаЬ
T^x
Заменяя MFA его значением, получим
ub, ,ч
-н— (и — е sin и)
¦nab
t — x 3.358
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
откуда
271 и
~Y (t — т)= и — е sin и.
Полагая п = 2тг/7\ мы придем к уравнению Кеплера
и — е sin и = п (t — т).
Для нахождения геометрического смысла средней аномалии п (t—х) вообразим движущуюся точку, выходящую из А одновременно с планетой и пробегающую описанную окружность равномерно, причем так, чтобы прийти в А' одновременно с планетой. К моменту і эта точка будет в М"; угол I = М"ОА будет средней аномалией. В самом деле,
: = -^-(t—x) = n(t — T).
Этот угол С меньше угла и, если sin и положителен (рис. 151).
Что касается выражения г в функции и, то оно получается из того, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы DD' равно е. Следовательно, имеем
г = еМК = е (OD — OH) = e(^Y — flcosaj =.0(1 — е cos и),
так как расстояние OD от центра до директрисы равно aje.
239. Аналитические преобразования. Для вычисления положения планеты в момент t необходимо сначала найти эксцентрическую аномалию и при помощи уравнения Кеплера
u = r-fesinu ' [С = n(t — т)]. (1)
После этого найдутся.все остальные координаты, которые все выражаются в функции и. Какова бы ни была дуга С, уравнение (1) Кеплера имеет один корень, который мы обозначим через и. В самом деле, С заключается между двумя целыми числами, кратными я:
Ы < С < (k + 1)
В функции ср (и) = и — е sin и — С положим и = тогда получим c(fejt) — къ— С < О,
в то время как
9 P +1) л] = (? +1) л —: > о.
Следовательно, между кп и (к-\-\)т. всегда имеется вещественный корень. Более того, этот корень будет единственным, так как производная <р' (и) — 1—е cos и всегда положительна, поскольку е заключается между О и 1.
