Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Последовательные приближения. Единственный вещественный корень уравнения (1) можно вычислить последовательными приближениями "ледующим образом.
Пусть U0 — произвольная вещественная дуга. Положим
U1 = е sin U0 + С, U2 = е sin U1 4- С,
= е sin Ui 4- С. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
359
Кёнигс указал следующий метод, позволяющий доказать, что величины U\, Uo, ..., ип действительно стремятся к искомому корню и и оценить предел ошибки при замене Un через и. Этот метод является приложением к уравнению Кеплера общих результатов, заключающихся в работах Кёнигса по функциональным уравнениям (Annales de !'Ecole Normale, 1884. и 1885).
Обозначая через и единственный вещественный корень, имеем
Ui
¦ и
Ui-
Ho так как
то можно также написать
е sin щ -
¦ и
C-u = -
Ui-U - е Sin и.
Uj + \ — U = с Sin Uj -Ui-U Ui -
Так как модули величин
¦ sin и Ui 4- и
-= е cos -Ці—
Ul-
Uj-sT U
І2~~
Sin ¦
U1-
меньше единицы, то
Отсюда умножением выводим
< еп
Но е заключается между О и 1, а еп стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает; следовательно, предел Un равен искомому корню и. Таким образом, последовательность величин и0, Uv ..., ип имеет предел и. Более того, предыдущее неравенство показывает, что эти величины непрерывно приближаются к своему пределу и. Этот факт замечателен, так как U0 выбрано совершенно произвольно. Если каким-нибудь образом удалось найти приближенное значение для и, то его можно принять за U0 и тогда щ, Uo, ... будут еще более приближаться к и. Допустим, что в качестве U0 принято, как это часто делают, само значение Мы нашли
< е".
Но из соотношения
получается
и, следовательно.
и0 — и и — е sin и = С
IС — и I < е I и„ — и I < еп+\
Мы нашли, таким образом, оценку совершаемой ошибки. Например, для
Земли приблизительно е = ^ и достаточно трех действий (п = 3), чтобы
получить и с семью точными десятичными знаками.
2°. Номограмма. Д'Окань, прилагая к уравнению Кеплера общие методы номографии, дал в Bulletin de la Societe mathematique de France (т. XXII, 1894) 3.360
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
номограмму для решения этого уравнения. Эта номограмма позволяет быстро получить первое приближенное значение для неизвестной, исходя из которого можно, применяя строгие методы, найти более точные приближения.
3°. Ряд Лагранжа. При помощи ряда Лагранжа можно получить разложения и, sin и, cos и, и — С, г, ... по возрастающим степеням е. Рассмотрим уравнение вида
и = С + е/(й),
определяющее и в функции переменных С и е; обозначим через и тот из корней этого уравнения, который стремится к С, когда е стремится к нулю Лагранж поставил себе задачей разложить заданную функцию F(и) этого корня в ряд, расположенный по возрастающим положительным степеням е. Он дал для этого формулу
F(u) = F{<.) + efQ.)F' (С) + g- d[P У (C)1 + ...
gm dm-l[fm(QF> (С)]
"• + т\ rfC™"1 - +•••
Мы отсылаем за доказательством этой формулы к курсу анализа Эрмита и к мемуару Рушё (Journal de l'Ecole Polytechnique, вып. XXXIX).
В уравнении Кеплера имеем
/(С) = SinC
и за функцию F(и) можно последовательно принимать эксцентрическую аномалию и, или радиус-вектор а( 1 — е cos и), или любую другую функцию и, разлагающуюся по степеням е. Так, например,
и = !; + е sinC+ 2 sin 2С +(32 sin ЗС — 3 sin С) +
е е°-
COS и = cos С + "2 (cos 2С — 1) + ^ ^9 (3 cos ЗС — 3 cos С) + ... .
Лаплас первый нашел, что эти разложения сходятся до тех пор, пока е остается меньше 0, 662743 ... Коши подтвердил этот результат более прямым методом.
4°. Функции Фурье — Бесселя. Предыдущие разложения сходятся для планет, но перестают сходиться для некоторых периодических комет, описывающих вокруг Солнца очень вытянутые эллипсы. Тогда можно применить ДЛЯ COS и, Sin и, ..., cos ju, sin ju, где j—-целое положительное число, метод разложения в ряды по функциям Фурье — Бесселя, пригодные для всех значений эксцентриситета, заключенных между 0 и 1. Чтобы показать идею этих разложений, заметим сначала, что уравнение Кеплера
и — е sin и = С
определяет и как нечетную функцию переменного С, так как это уравнение не перестает удовлетворяться при одновременной перемене знаков у С и а. Более того, если средняя аномалия С увеличивается на 2it, то на столько же увеличивается и эксцентрическая аномалия и. Вследствие этого cos ju и и sin ju, где j ¦—целое положительное число, будут функциями переменного С не изменяющими своих значений, когда С увеличивается на 2п, причем первая будет четной, а вторая-—нечетной. Известно, что любая конечная и непрерывная вещественная функция переменной С, не изменяющаяся, когда С увеличивается на 2п, разлагается по формуле Фурье в ряд по синусам и косинусам Д, где / = 1,2,... В случае, когда разлагаемая функция от С — четная, разложение содержит только косинусы и свободный член; ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
361
в случае, когда эта функция нечетная, разложение содержит только синусы и не имеет свободного члена.
