Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Jilr I* 1
C3 V ^ r f "
При первом законе, когда сила пропорциональна расстоянию, точка приложения будет описывать коническое сечение с центром в центре спл. Это не будет справедливым для двойных звезд, так как если центр действительной траектории звезды-спутника совпадает с главной звездой, то то же будет и для видимой траектории.
Таким образом, остается только второй закон, согласно которому сила изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Это—закон Ньютона. Согласно этому закону звезда-спутник будет описывать вокруг главной звезды эллипс, в фокусе которого находится главная звезда. Для' нахождения действительной траектории спутника необходимо разрешить следующую задачу геометрии.
Зная проекцию эллипса на плоскость и зная, что один из его фокусов находится в определенной точке E плоскости, определить этот эллипс в пространстве.
Задача имеет два решения, симметричных относительно плоскости проекции.
233. Краткие указания по поводу некоторых других задач. Руководствуясь аналогичными идеями. Бертран решил следующую задачу:
Зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость не превосходит некоторого предела, найти закон этой силы.
Бертраи доказал (Comptes rendus, т. LXXVII), что единственными законами, удовлетворяющими этим условиям, являются
из которых первый ие подходит по причинам, указанным выше.
В т. LXXXlV Comptes rendus Бертраи решил еще следующую задачу.
Зная, что сила, действующая на точку, зависит только от положеная точки и ^заставляет ее описывать коническое сечение с фокусом, в определенной точке S, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы.
Он доказал, что сила должна обязательно проходить через точку 5 и быть обратно пропорциональной квадрату расстояния. Следовательно, если принять первый закон Кеплера как общий закон и допустить, кроме того. 3.348
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
что сила, действующая на планету, зависит только от ее положения, то только из этих предположений вытекает закон Ньютона.
В связи с этой работой Бертран поставил следующую задачу: Зная, что сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при любых начальных условиях описывать коническое сечение, найти закон этой силы.
Эта задача была сведена Альфеном и Дарбу (Comptes Rendus, т. LXXXIV) к частной задаче, решение которой было изложено выше (п. 232). Альфен доказал аналитически, что если сила, зависящая только от положения точки, заставляет точку при всех обстоятельствах описывать плоскую траекторию, то сила является либо центральной, либо параллельной постоянному направлению. Дарбу дал элементарное доказательство этого предложения (примечание, помещенное в «Механике» Депейру).
Наконец Кёнигс (Bulletin de la Socifete mathematique, т. XVII) исследовал вопрос о том, какой должна быть центральная сила, зависящая от расстояния, чтобы ее точка приложения описывала при любых начальных условиях алгебраическую кривую. Он пришел к законам — у.г и — y.jr2.
III. Элементарные сведения из небесной механики
234. Задача п тел. Мы только что видели, каким путем Ньютон пришел к закону всемирного тяготения. Теперь речь идет о том, чтобы, исходя из этого закона, объяснить движение небесных тел и, в частности, тел, образующих солнечную систему: Солнца, планет, их спутников и комет. При изучений относительных движений этих тел можно совершенно пренебречь действием звезд вследствие огромных расстояний до звезд по сравнению с размерами солнечной системы *).
Двумя основными задачами небесной механики являются следующие: 1) найти движение центров тяжести небесных тел; 2) найти
движения небесных тел вокруг. ИХ ™ центров тяжести.
Мы ограничимся здесь некото-
----------ff- 0Q рыми указаниями о первой задаче.
Рассмотрим группу, образованную рис 147 ' планетой P и ее спутниками X,
U, ...(рис. 147). Движение центра тяжести G этой группы будет таким, как если бы в нем были сосредоточены массы планеты и всех ее спутников и в него были бы перенесены параллельно самим себе все действующие на группу внешние силы. Пусть M — любая другая точка солнечной системы. Так как ее расстояние от различных точек группы Р, Ъ, очень велико по сравнению с размерами группы,
то равнодействующая F сил притяжений, действию которых подвергается точка M со стороны группы, будет почти такой, как если бы Группа была заменена одной точкой той же массы, помещенной в G; доказывается в теории притяжения. Наоборот, притяжения, которые оказывает точка M на различные точки группы
*) Автор всюду употребляет выражение «центр тяжести» вместо «центр Инерции» или «центр масс». (Примеч. перев.) ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
349
P7 EV-, будут силами, равными и противоположные предыдущим; .если их перенести параллельно им самим в точку О, то они будут иметь равнодействующую F', равную и прямо противоположную силе F. Следовательно, действие группы Р, S', .. . на точку M и движение центра тяжести G группы будут почти такими, как если бы вся масса группы была сосредоточена в ее центре тяжести.
