Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
г , 1 a + b cos 26
Ч--=--уг,- (С — постоянная площадей).
dr- ^ г О
Его интеграл имеет вид
- = A cos 6 + В sin 6 — -Sr + ~ cos 26. Г L- оС
Траектория является алгебраической кривой четвертой степени при любых значениях А, В, С, если только b не равно нулю. В последнем случае траектория будет коническим 'сечением, так как закон притяжения станет законом Ньютона.
После этого при помощи квадратуры можно определить t из интеграла площадей.
4. Найти движение точки, когда
р_ __mv-____™\>-
г2 (a cos2 6 + Ib sin 6 cos 6 + с sin2 6)? ra (a cos 26 + ? sin 26 + 7)
где a, b, с—постоянные, а а, ?, 7 имеют значения: a = g^c , ? = b, 7 = .
(Это один из законов центральной силы, найденных Дарбу и Альфеном.)
Ответ. Если положить ф (6) = a cos 26 -j- ? sin 26 -)- 7, то придется проинтегрировать уравнение
Если a2-)-?2 — 72 или b2 — ас отличны от нуля, то, как легко убедиться, это уравнение допускает частный интеграл вида
j = МЛЙ6). * = C2(a2+V-72)- ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 367
Следовательно, уравнение траектории будет
у = A cos 6 + В sin 6 + МЛ(Г(0)
с произвольными постоянными А, В, С или А, В, Это — коническое сечение, касающееся двух неподвижных прямых, определяемых уравнением
ф (H) = O или а (х2 — у2) 4- 2?*y + і (х2 + у2) = о.
Если Ot2 4-?2 — fa=0 ИЛИ Ь2 — ас = 0, ТО 1(6)=0)2(6), где функция
со (в) имеет вид k cos в -(- / sin в. Уравнение имеет частное решение вида 1 х «
и траектория будет
,(6)
A = A cos 6 + В sin 6 + -A57. T со (6)
Это — уравнение конического сечения, касающегося в начале координат неподвижной прямой со (6) = 0 или kx + Iy = 0.
5. Доказать, что если удастся найти траекторию точки, движущейся под действием центральной силы F = тФ (1/л, 6), то удастся найти траекторию и в том случае, когда сила
F1 = тФ — a cos 6 — Ь sin 6, 6 j (1 — аг cos 6 — br sin 6) ~2,
где а и b — постоянные.
Ответ. Предполагается, что можно проинтегрировать уравнение
v^+t)--'"*
(М-
и нужно доказать, что тогда можно проинтегрировать уравнение
^ Ф — a cos 6 — Ь Sln в, ej.
rf62 ^rj (1 —аг cos 6 — br sin 6)'
Ho второе уравнение приводится к первому подстановкой
— = — 4- a cos 6 4- b sin 6. Г P
6. Зная, что под действием силы F = трг точка описывает коническое сечение с центром в начале координат, найти траекторию точки, движущейся под действием силы
F1=------т!Х
г2 (J--a cos 6 — Ь sin 0j
(второй из законов силы, найденных Дарбу и Альфеном).
Ответ. Этот вопрос является приложением задачи 5. Общее уравнение траектории, описываемой под действием силы F1, имеет вид
I = a cos В 4- Ь sin 6 4- /а cos2 6 + 2? cos 6 sin 6 4- т sin2 6, где а, ?, і — три произвольные постоянные. Эта траектория является таким 3.368
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
коническим сечением, что поляра начала координат относительно него является фиксированной прямой ах + by — 1 = 0.
, 7. Годограф. При движении планеты вокруг Солнца откладывают от центра Солнца отрезки, равные и параллельные скоростям планеты в ее различных положениях. Найти геометрическое место концов этих отрезков, называемое годографом скорости.
Ответ. Годографом является окружность, центр которой находится на ординате фокуса и которая содержит фокус внутри себя. Это можно доказать, опираясь на соотношение pv = С, или на то, что геометрическое место проекций фокуса на касательные есть круг, или на то, что фигура, обратная кругу, есть круг.
8. Для нахождения годографа скорости точки, описывающей плоскую кривую по закону площадей вокруг центра О, надо: а) построить подеру г ((f) этой кривой относительно центра О (геометрическое место оснований, опущенных из центра О на касательные к кривой); б) найти инверсию подеры [кривую р (ср), где р = Ы'г, k = const. — радиус инверсии]; в) повернуть инверсию подеры на 90° вокруг О.
Для того чтобы годограф был окружностью, необходимо и достаточно, чтобы подера траектории была окружностью. В этом случае сама траектория будет коническим сечением с фокусом в точке О и сила будет обратно пропорциональна квадрату расстояния.
9. Точка описывает по закону площадей окружность, проходящую через центр площадей О. Найти закон силы: 1) в функции расстояния т\ 2) в виде 9(0 )!Г\
Ответ. „
1) 2)__r^-
> /•» ' > г"- COS3 0
10. Найти движение точки под действием центральной силы F = — 2т^'г\
IJ->0.
Ответ. По теореме кинетической энергии имеем Vі = + h. Нужно
ї. 2 Il
различать случаи, когда величина h = V0--— положительна, отрицательна
или равна нулю. Пусть А < 0. Тогда дифференциальное уравнение траектории будет
db — ^ ^r — ^ ^r
~ Yhr^-O-T4- + (X _/А (т-з —д2) (т-2 + й2) '
где явно указано, что один из корней многочлена относительно г- положителен, а другой отрицателен.
У — А(а2 + А2)
Полагая г = a cos 9 и --^-- = g, найдем в нормальной форме
gdb= + d? *2= g у 1-ft» sin* ? +
Следовательно, ср = am [g (6 — (J0)] и уравнение траектории получается в виде
/¦ = асп[?(В —B0)]. Время можно определить по формулам
