Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
орбиту, задают период обращения T или среднее движение п = -у-
и момент х прохождения через перигелий. Заметим, что а и T не независимые величины, так как они связаны установленным ранее соотношением (п.236):
і і ч 4я»д3
/(М+т) = -^-,
где M — масса Солнца, а т — масса планеты. Итак, для определения движения планеты или периодической кометы необходимо знать шесть 3.1564
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
постоянных о, ср, ш, а, е, т, которые называются шестью элементами эллиптического движения. Вместо -т часто вводят элемент є, определяемый формулой
и называемый средней долготой в нулевую эпоху. Тогда прямоугольные координаты X, у, г планеты определяются в функции t и шести эллиптических элементов формулами вида
X = fi(t, в, ср, to, а, е, є), У = fi(t, 6, <р, w, а, е, є), z = fz(t, S, ср, w, а, е, є),
(А)
которые нам нет надобности здесь приводить.
241. Метод вариации постоянных. Если бы солнечная система состояла из Солнца и только одной планеты, то шесть элементов эллиптического движения сохраняли бы в течение неопределенного времени свои значения. Но, как мы видели, эллиптическое движение является лишь первым приближением для движения планеты. Действие других планет на рассматриваемую планету сказывается в возмущении этого эллиптического движения. Для представления возмущенного движения, которое является действительным движением планеты и которое несколько отличается от эллиптического движения, сохраняют формулы (А), рассматривая в них шесть элементов 6, ср, to, а, е, г не как постоянные, но как-функции от t. С течением времени под действием других планет эти элементы будут поручать приращения 80, Sep, 8(о, 8а, Sg, 8є, которые называются возмущениями элементов и которые вызовут соответствующие возмущения координат X, у, Z. Раздел небесной механики, посвященный вычислению этих приращений, называется теорией возмущений.
242. Параболическое движение комет. Представим себе комету М, описывающую параболу, фокус которой находится в центре Солнца, что имеет место для огромного большинства комет. Обозначая через w угол, образованный радиусом-вектором SM = г с радиусом-вектором перигелия (рис. 153), напишем:
153.
1 ¦
2 cos"
На основании интеграла площадей имеем
г2 сШ = С dt = V.HM + т)р dt, ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
365
где т — масса кометы, a M — масса Солнца. Действительно, из рассмотренной нами задачи двух тел вытекает, что комета движется вокруг Солнца так, как если бы Солнце было неподвижно, а сила, с которой оно притягивает комету, равнялась
f(M-\-m)m _ рт
р> — рг •
Постоянная площадей будет тогда C = Vl1P = V f(M-\-m)p . Следовательно,
2 Vf (М 4- т) _ dm
p'k w
2 COS4-^-
¦(•+«•ЇЙ*-?).
откуда, интегрируя и обозначая через т момент прохождения через перигелий, найдем
tW
Таково уравнение третьей степени относительно tg , которое необходимо решить, чтобы найти положение планеты в момент t. Уравнение имеет только один вещественный корень. Полагая в этом уравнении P = Iq-A замечая, что l^/W-f-m можно заменить через і/М, так как массой т кометы можно вполне пренебречь по сравнению с массой Солнца, мы можем представить уравнение в виде
t — T
q'l.
Существуют численные таблицы корней этого уравнения для ряда значений левой части, причем масса M Солнца принята равной 1.
243. Параболические элементы. Для определения параболической орбиты кометы задают пять независимых элементов 6, ср, ш, т и q, из которых первые четыре имеют те же значения, что и для планет,
a q = ~ обозначает расстояние перигелия (см. «Небесную механику» Тиссерана).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для движения точки, притягиваемой к неподвижному центру О силой F= — mk"r, пропорциональной расстоянию, было показано, что траектория является эллипсом с центром в точке О и что скорость точки в произвольном положении M пропорциональна полудиаметру b', сопряженному с OjM: V = kb'. Показать, что, пользуясь этими результатами, можно с по-
мощью теорем площадей и кинетической энергии доказать теоремы Апол-
лония.
Ответ. Пусть. OM = г = а'. Теорема площадей выражается равенством pv = С. Но это произведение ри равно взятой k раз площади параллелограмма, построенного на а' и b'. По теореме кинетической энергии г»'г+ k-r2 = h, откуда W- (а'% -j- b'2) = h. 3.366 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
2. Найти движение точки под действием центральной с.ільї, выраженной формулой
F т(а
It5"^" W)'
где а и b — постоянные.
Ответ. Для нахождения траектории нужно проинтегрировать уравнение
гЛ
d 62 ^ г V^ Cs Jn Cs
которое является линейным с постоянными коэффициентами относительно 1 jr.
Форма общего интеграла меняется в зависимости от знака 1 + Когда эта
величина равна нулю, 1 /г будет многочленом второй степени относительно 6; когда она положительна и квадратный корень из нее рационален, траектория есть алгебраическая кривая. 3. Найти движение точки, когда
„ т (а 4- b cos 26)
Г = -5-.
Г1
Ответ. Надо проинтегрировать уравнение
