Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Общее уравнение конического сечения, разрешенное относительно у,
у = ах + ? + Y UX1 + 2 bx + C 3.344 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
содержит пять произвольных коэффициентов а, р, а, Ь, с. Дифференцируя дважды и обозначая через у', у", ... производные от у по х, найдем
у" = (ас — 62) (ах2 + Ibx + с) 2.
Следовательно, величина у" 3 является многочленом второй степени относительно X и ее третья производная равна нулю. Таким путем получается данное Альфеном дифференциальное уравнение конического сечения:
(у""')
: 0.
Это — уравнение пятого порядка.
Установив это, рассмотрим точку массы 1, находящуюся под действием центральной силы F1, зависящей только от координат (jc1, уО точки приложения относительно двух прямоугольных осей O1jc1, O1 уі, имеющих начало в точке O1, через которую проходит сила. Если время обозначить через tlt то уравнения движения будут
(P-X1 _ р X1 ^y1 _ р yt
T1 ' dt\
где
р "-/і _ р m ^i-. —rr-^i— . (1)
Интеграл площадей имеет вид Сделаем преобразование *)
dyi dXl
и положим
Уі
Тогда получим
dx1_ ^y1
dx _ Уі dtx Xl dt1 dt1 ^ dy = 1 ^y1 dty ^ ^y1 dt ~ у I dt a' dt y\ dt1 dt dt.
Отсюда
і
d*x d1 у dt, yf
= "^T TT" ()
Эти уравнения показывают, что зависимость движения точки (х, у) от времени t такова же, как материальной точки, находящаяся под действием силы
у?
Y=-F1^L, (4)
rI
*) См. Appell, De Phomographie en Mfecanique (Comptes rendus, 4 февраля 1899 и American Journal of Mathematies, т. XII и XIII). ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 345
постоянно параллельной och Oy. Эта сила У является функцией от X1 и ух и, следовательно, на основании соотношений (2) — также функцией от х и у. Если точка (Jt1, ^1) описывает коническое сечение, то точка (х, у) также описывает коническое сечение, являющееся томографическим преобразованием первого, и наоборот. Таким образом, мы привели задачу к отысканию закона параллельных сил У, заставляющих их точку приложения ' описывать коническое сечение при любых начальных условиях. Эта задача может быть разрешена следующим образом.
Так как уравнения движения имеют вид
d'-x (Py
dP ' dP
то = а и дифференциальное уравнение траектории будет
<5>
где У—функция от X и у. Обозначим через у', у", ... производные от у по л:. Выражение (5) для у" должно удовлетворять дифференциальному
( -1Y'
уравнению \у" 3 / =0 конических сечений, каковы бы ни были начальные условия. Обозначив через (і постоянную, положим
__2 _ 2^ jt_
У 3 =P у), Y= [![?(*. У)] 2. (6)
Тогда [tp (х, у)]'" = 0. Произведя действия, получим:
ду , д? „,
дх ^ ду
4 дх2 ^ y дх ду ду2 ^y ду '
„да _ iUL 4- 3v' ^ 4- 3v'2 ^3? 4- v'3 ^ Л-
9 - дхЗ +Jy дШї + 3у дГд^ + У W +
+ Зу"( д2? + у' A + у'" + * VdJCdy ^y ду9-)^ У ду'
Так как на основании равенств (5) и (6)
y «3 f ' y 2 a2 4 \dx ^y dy)'
то уравнение у"' = 0 напишется так:
** 1 ЗУ' I ?v'2 дд. V'» d8T О.
+ і* "І /о» _дч 0V \ , W -fr9ffl W / дч N2] _
2а2 + L9 dy2" dy ) J
Это условие должно выполняться при любых начальных условиях, поэтому оно должно тождественно удовлетворяться, каковы бы ни были X, у, у' 3.346
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
и. і, так как в начале движения эти четыре величины произвольны. Имеем, следовательно,
дх* ' дх*ду дхду* ' ду3 ' v ;
f дх ду дх ду ' f ду°- \ ду )
(S)
Условия (7) показывают, что ® является многочленом второй степени < т X и у:
<Р (X, у) = Ax+ IBxy + Cy0- + 2Dx + 2Еу + F.
Этот многочлен должен удовлетворять условиям (8); здесь необходимо различать два случая в зависимости от того, равен ли коэффициент С нулю или нет.
1°. Cs0. Тогда и второе из тождеств (8) дает выражение
T = (Bx + Cy + E)0-,
которое удовлетворяет, как это можно непосредственно проверить, также и первому из тождеств (8).
да,
2 . С=0. Тогда из второго тождества (8) имеем -~-=0, т. е. <р не
зависит от у. Следовательно,
B=C=E= 0,
<р = Ax0- + 2 Dx + F
и пецвое из тождеств (8), очевидно, удовлетворяется.
Таким образом, имеется два закона параллельных сил, отвечающих требованиям задачи. Эти законы на основании равенства (6) выражаются формулами:
з
1) K= fi^
(Bx + Cy + EY
2) Y =
(Ах°- + 2D X + F)h
Следовательно, имеется также два закона для центральных сил, удовлетворяющих требованиям задачи. На основании формул преобразования (2) и (4),
x-*. v- 1 F --ILl х —-> У--. —--«-і
Уі У і. УІ
эти силы определяются формулами:
?
14 F =__Ij-rIc'
> 1 (Bxx + Eyx + Cf '
2) Fx —-----
(Ах~ +20хіУі + Fyj) ' ' Это и будут два закона сил, открытых Дарбу и Альфеном. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 347
Если перейти к полярным координатам X1 = rt cos 9, ух = T1 sin в, то получатся два следующих закона сил:
fi'r,___I*_
(Br1 cos Є + Er1 sin Є + Cf ' r\ (A cos2 в + 2D sin 9 cos 0 + Fsin'-i 9)?'
S
где вместо цC2 написано у.'..
Если допустить, что действие звезды на какую-нибудь материальную точку зависит только от расстояния г между точкой и звездой, а не от направления в радиуса-вектора, то обе силы не должны зависеть от в, и тогда для первой силы требуется, чтобы B = E = O, а для второй, — чтобы D = O, A = F. Вместе с тем эти случаи являются единственными, когда для обоих законов сил существует силовая функция. Законы сил при этом будут
