Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Время может быть определено из уравнения площадей
dt = -+-.
Рис. 146.
в котором Ti следует заменить его значением в функции 9. Если постоянные А и В специальным образом не подобраны, то получающийся интеграл будет эллиптическим.
Примечание. Точно так же приводится к квадратурам и более общая задача, когда выражение силы имеет вид
Z7=T-^ (в)+Аг-з,
где k — постоянная. При этом по-прежнему придется интегрировать линейное относительно 1 /г уравнение с постоянными коэффициентами и со второй частью.
225. Обратная задача. Определение центральной силы, когда задана траектория. Поставим себе следующую задачу.
Точка описывает плоскую траекторию по закону площадей относительно некоторого неподвижного центра. Найти силу, вызывающую это движение.
Прежде всего, эта сила — центральная. В самом деле, примем неподвижную точку за начало; тогда по закону площадей имеем уравнение
dy dx ~
откуда, дифференцируя, получим
сРу
d2x
Это уравнение показывает, что ускорение, а следовательно, и сила все время проходят через начало. Пусть F—алгебраическое 3.334 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
значение силы. Тогда на основании равенства (6)
rs \ г т </ва /"
По условию известно уравнение траектории /(г, 8) = 0, которое определяет у в функции 0: у = ср (0). Следовательно, получаем
/=- = -^^(0) + ^(0) J.
Если на характер силы F заранее не налагается никаких ограничений, то задача представляет неопределенность, так как г и 0 связаны заданным уравнением, вследствие чего можно преобразовать бесчисленным множеством способов выражение для F. Можно, и это обычно требуется, выразить F в функции одного только г, для чего нужно исключить 0 из предыдущего уравнения и из уравнения траектории.
Примеры. 1°. Рассмотрим случай конического сечения, описываемого по закону площадей относительно фокуса и обращенного к этому фокусу вогнутостью. Приняв фокус за полюс, имеем уравнение конического сечения
1 -\-е с09 б
P
где р — параметр и е — эксцентриситет. Отсюда находим
Следовательно, сила является притягивающей, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния.
2*. Если ту же задачу рассматривать для ветви гиперболы, обращенной выпуклостью к фокусу, так что ее уравнение имеет вид
1 е cos 6 — 1
г P
то
РГ2 -
Таким образом, для силы получается тот же закон, но она будет отт»лки-вающей.
3°. Большинство встречающихся в подобных задачах кривых заключено в уравнении
г* = a cos + b,
где a, b, k — постоянные. Если предположить, что эти кривые описываются по закону площадей относительно начала, то для силы, выраженной ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
335
в функции г, получится
(fe + 1
r*+a J •
F=-
Г^к+'і
(Частные случаи: при .к =—1 имеем конические сечения с фокусом в полюсе; при к = —2 имеем конические сечения с фокусом в центре; при к = 1 имеем улитку Паскаля', при k = 2, b = Q имеем лемнискату, ...)
226. Следствия из законов Кеплера. Во всем последующем изложении речь будет идти только о движении центра тяжести планет. Согласно теореме, которую мы докажем впоследствии, центр тяжести движется, как точка, в которой сосредоточена вся масса планеты и в которую перенесены параллельно самим себе все приложенные к планете силы.
Законы движения планет выведены Кеплером из наблюдений Тихо Браге. Эти законы следующие:
Ij. Планеты описывают вокруг Солнца плоские кривые по закону площадей;
2°. Эти кривые являются эллипсами с фокусом е Солнце;
3°. Квадраты звездных времен обращения планет пропорциональны кубам больших осей их орбит.
Из этих законов Ньютон вывел закон для силы, вызывающей эти движения.
Так как траектория плоская и имеет место закон площадей относительно центра Солнца, то сила является центральной, проходящей через эту точку. Так как траектория является эллипсом с фокусом в Солнце, то сила, действующая на планету, обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца. Для этой силы мы получили выражение (яервый пример предыдущего пункта)
„ тС-
где С—постоянная площадей, а р — параметр конического сечения.
C1
Полагая її =—, можно написать
Последний закон Кеплера показывает, что jj. не зависит от рассматриваемой планеты. В самом деле, постоянная площадей С равна удвоенному отношению площади, описанной радиусом-вектором, к затраченному на это времени; если T—продолжительность обращения, то радиус-вектор описывает за время T площадь izab\ следовательно,
II. Движение планет
P
F =
_ 2-nab — •
Так как р равно —¦, то для [х получаем выражение
C9- 4я2йз
Р— р — г* ¦ 3.336
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
По закону, о котором мы говорили, отношение -J^ будет одинаковым для всех планет; поэтому сила для любой планеты будет
F — mV-
Итак, каждая планета притягивается к центру Солнца силой, пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца.
227. Прямая задача. После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче.
