Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Средняя плотность Земли. Определение постоянной / весьма важно, так как, зная ее, можно определить массу и, следовательно, среднюю плотность Земли. В теории притяжения доказывается, что шар, образованный концентрическими однородными слоями, притягивает внешнюю точку так, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Допуская, что Земля приближенно удовлетворяет этому условию, и обозначая через т и р массу и радиус ^емли, найдем, что притяжение Землей единицы массы, находящейся на ее поверхности, равно /"р"- С другой стороны, это
притяжение, как мы это увидим в теории относительного равновесия (глава XXII), мало отличается от веса g единицы массы. Следовательно, имеем приближенно
, т
откуда находим т.
Зная массу Земли, можно определить ее среднюю плотность, вычислив плотность, которую должен иметь однородный Шар, радиус * масса которого равны радиусу и массе Земли. Эта средняя плотность, отнесенная к воде, равна 5,5. Она значительно Дольше плотности поверхностных слоев. Отсюда следует, что слои Земли, лежащие на большой глубине, имеют значительно большую плотность, чем поверхностные слои.
Размерность /; естественный час. Значение коэффициента / зависит от выбора основных единиц длины, времени и массы. Так как для притяжения двух масс
„ , mm'
F = f-7?-.
то отсюда получаем
Следовательно, если взять единицу длины в X раз меньшую, единицу времени в г раз меньшую и единицу массы в ;л раз меньшую, то новое значение /, как мы видели в п. 76, будет
7 рта
Допустим, что мы условились раз навсегда принимать за единицу массы массу куба со стороной, равной единице длины, заполненного каким-нибудь определенным веществом, например водой при 4°; тогда
їх. =
и / не будет изменяться с изменением единицы длины, а будет изменяться лишь с изменением единицы времени. Если единицу времени ВЗЯТЬ В X раз
меньшую, то / перейдет в Взяв в качестве единицы времени секунду
среднего времени, получим:
J о8Ь2'! ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
343
и, выбрав в X раз меньшую единицу времени, получим для / значение
_1__
3862-х- '
Примем г = ' Тогда f будет иметь значение 1. Новая единица времени будет равна 3862 секундам среднего времени; она мало отличае:ся от часа. Липпман предложил называть ее естественным часом (Comptes rendus, 8 мая 1899).
На основании сказанного естественным часом является единица времени, которую нужно принять для того, чтоэы при произвольной единице длины и при единице массы, равной массе единичного куба воды, для постоянной всемирного тяготения получилось значение /= 1.
231. Двойные звезды. Закон тяготения, открытый Ньютоном, распространяется за пределы солнечной системы. В самом деле, весьма вероятно, что этот закон управляет движением двойных звезд. Вот что показывают наблюдения этих движений. Заметим, прежде всего, что наблюдения непосредственно дают нам не действительную орбиту звезды-спутника вокруг главной звезды, а проекцию этой орбиты на касательную плоскость к небесной сфере, т. е. на плоскость, проведенную через главную звезду E перпендикулярно радиусу ТЕ, соединяющему Землю T с этой звездой. Эта проекция и является видимой орбитой звезды-спутника. Наблюдения показывают, что
1) видимая орбита описывается по закону площадей вокруг главной звезды ?;
j) эта орбита является эллипсом, в котором главная звезда E занимает произвольное положение, отличное от фокуса.
То обстоятельство, что имеет место закон площадей для проекции движения на плоскость, проведенную через звезду E перпендикулярно к радиусу ТЕ, соединяющему Землю со звездой, показывает (п. 203), что сила, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекает прямую ТЕ. Так как это справедливо для всех двойных звезд и так как положение, занимаемое в пространстве Землей, никак не связано с двойными звездами, то естественно допустить, что сила, действующая на звезду-спутник, постоянно пересекает главную звезду Е. Так как сила центральная, то траектория будет плоской и так как ее проекция — эллипс, то она сама является эллипсом. В таком случае можно попытаться дать себе отчет и в природе силы, вызывающей это движение. Так как на каждую звезду-спутник действует сила, направленная к главной звезде и заставляющая звезду-спутник описывать эллипс, то закон этой силы, очевидно, таков, что движение спутника по коническому сечению, не зависит от того, каковы были начальные условия движения спутника. Для нахождения' этой силы необходимо решить следующую задачу.
232. Задача Бертрана. Найти закон центральных сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих ее описывать коническое сечение, каковы бы ни были начальные условия.
Эта задача была поставлена Бертраном в т. LXXXIV Comptes Rendus и разрешена одновременно Дарбу и Альфеном. Дарбу изложил свое решение в примечании в конце «Механики» Депейру. Мы изложим решение Альфена с некоторыми изменениями, позволяющими упростить вычисления. Этот метод Альфена основан на составлении дифференциального уравнения конических сечений.
