Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, для cos ju и sin ju мы получаем, используя обозначения из первого тома Небесной механики Тиссерана, разложения следующего вида:
cos ju = у pf + p[j) cos с + pf cos 2С + ... + cos гС + ..., (а) sin ju = q[j) sin С + sin 2С + ... + q\?> sin F, + ... (b)
Здесь коэффициенты определяются известными формулами
~ 71
Y р^ = j cos ju cos /Ї Y q= j sin ju sin i' dC,,
о о
из которых первая может быть получена сразу умножением обеих частей разложения (а) на cos Г, и интегрированием от 0 до it, после чего все члены правой части, кроме члена, соответствующего обратятся в нули. Мы займемся сейчас вычисленизм коэффициентов коэффициенты дФ
вычислятся аналогичным образом. Прежде всего, полагая I = 0, имеем
уРо)= f coijudi, о
или, заменяя С переменной и — е sin и и замечая, что если и изменяется от О до it, то С будет изменяться тоже ОТ О ДО It, имеем
Tf Po * = J cos/и (1—е cos и) du.
о
Этот интеграл равен нулю при j > 1; при У = 1 он равен —ле/2. Следовательно,
pu> = 0 (У > 1). Далее, интегрируя по частям, находим (і > 0)
X ТЕ Tt
1 I
P^ — J cos ju cos Il dt = -j- j cos ju sin il--j- j sin ju sin i" dl.
о 0
Проинтегрированная часть равна нулю; после замены в другой части произведения синусов разностью косинусов и величины С ее значением и — е sin и найдем
№ = — Уі иt
J cos [(і — j) и — Ie sin и) du — ~ J cos [(г +у) и — Ie sin и) da.
о о 3.362 ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Сюда и входят функции Фурье — Бесселя, которые можно определить следующим образом. Пусть к— целое число и х — параметр. Выражение
Jk (х) = — / cos (kf — X sin <f) df
определяет функцию Фурье — Бесселя. Существует, следовательно, бесчисленное множество функций Фурье — Бесселя, соответствующих всем положительным, или отрицательным, или нулевым значениям целого числа к. Легко видеть, что всегда можно считать к положительным. В самом деле, меняя <р на я — <р', получим df = — df' и из написанного выше интеграла находим:
Jk(X)
= ^—У cos (— kf' — X sin tp') df' = (—l)fc y_fc (*).
Эта формула позволяет переходить от отрицательных индексов к положительным. Функция Jk (х) является целой трансцендентной функцией от X, содержащей Xk множителем; раскладывая эту функцию по степеням х, найдем
к\
1 •(* + !) ' 1-2(А + 1)(А + 2)
(тГ
1-2-3(к + 1)(к+2)(к+3) 1 "
Согласно этим обозначениям мы получаем следующие значения для коэффициентов
P^ = jJ-Wi-J (Ie)-Ji+J (Ie)].
Точно так же находим
= { [Ji-J (ie) + Ji+j (Ie)].
Подставляя эти значения в выражения для cos ju и sin ju, мы получим искомые разложения, сходящиеся при всех значениях е между 0 и 1. Так, например,
і и = — -J + 2 І7«"1 {ie) ~ Ji+l {ІЄ)]
COS /Q
Если в этом разложении найти коэффициенты при е, ег, ..., то мы снова получим те же значения, что и в написанной ранее формуле Лагранжа. Тем не менее оба эти разложения совершенно различны. Разложение Лагранжа расположено по степеням е и сходится только при значениях е, меньших некоторого предела; только что полученное разложение расположено по косинусам и синусам целых кратностей С и сходится при всех значениях е от 0 до 1.
Более подробные сведения о функциях Фурье—Бесселя можно найти в сочинении Тодгунтера, On Laplace's, Lame's and Bessei's Functions ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
363
и в Traite de Mecanique celeste Тиссерана, из которой мы многое заимствовали. До Бесселя эти функции встречаются у Фурье. По этому вопросу можно указать на статью Аппеля и на несколько статей Пере,' Акимова и Жуковского (Comptes rendus годы 1915, 1916, 1917).
240. Элементы эллиптического движения. Эллиптическое движение планеты определяется в пространстве шестью постоянными. Проведем через центр 5 Солнца (рис. 152) три оси Sx, Sy, Sz с неизменными направлениями. В настоящее время обычно принимают за плоскость ху плоскость эклиптики на 1 января 1850 г., за положительные оси Sx и Sy — прямые, направленные в точку весеннего равноденствия и в точку летнего солнцестояния той же эпохи, и за положительную ось Sz направление на северный полюс эклиптики. Плоскость орбиты планеты пересекает плоскость X у по линии NN', которая называется линией узлов. Точка N пересечения орбиты с плоскостью
эклиптики является восходящим узлом. г. 1СГ|
„ J Ри:, 152.
Это —точка, которую пересекает планета, когда ее координата z переходит от отрицательных значений к положительным. Другой узел N' является нисходящим. Для определения плоскости орбиты задают угол 6 = xSN, который считается положительным от Sx к S_y и называется долготой восходящего узла, и угол наклонения <р между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики; этот угол <р измеряется углом между перпендикулярами в точке N к прямой SN, из которых один лежит в плоскости эклиптики и направлен в сторону движения Земли, т. е. от Sx к Sy, а другой лежит в плоскости орбиты и направлен в сторону движения планеты (или кометы). После того как плоскость орбиты установлена, надо определить положение и размеры эллипса. Пусть Л—перигелий; обозначим через ш сумму углов xSN и NSA, причем последний угол отсчитывается от SN в сторону движения; угол со называется долготой перигелия. Угол NSA равен ш — 6. Этот угол определяет положение эллипса; для определения размеров этого эллипса задают его большую полуось а и его эксцентриситет е. Наконец, для указания закона, по которому планета описывает свою
