Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому можно вначале рассматривать солнечную систему, как образованную ограниченным числом материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона и помещенных: одна—в центре тяжести Солнца, другая—-в центре тяжести Меркурия, третья—-в центре тяжести Венеры, четвертая—в центре тяжести Земли и Луны, пятая—-в центре тяжести Марса и его двух спутников и т. д.
Полагая число групп равным л, мы получим, написав уравнения движения п центров тяжести, Ъп дифференциальных уравнений второго порядка,—-по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу п тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение, центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца. Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел.
235. Задача двух тел. Рассмотрим Солнце и определенную планету, как две материальные точки, совпадающие с их центрами тяжести. Так как массы остальных тел солнечной системы очень Ma-ды по сравнению с массой Солнца, то в первом приближении мы положим их равными нулю. Другими словами, допустим, что солнечная система состоит из Солнца и одной единственной планеты. Мы приходим таким образом к простой задаче двух тел, для которой можно найти все интегралы. В небесной механике исследуется, каким образом, после того как эти интегралы будут вычйслены, надо их изменить, чтобы рассчитать действия остальных тел солнечной системы.
Пусть M и т— массы Солнца S и планеты Pi а а, ? и у, х, у, Z-—их координати. Так как абсолютное значение силы притяжения обеих точек равно , то проекции силы, действующей на Солнце S, будут
fMm X — a /Mm у — ? fMm z — і 3.350
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
а проекции силы, действующей на планету Р, будут иметь те же выражения, но с обратными знаками. Тогда будем иметь уравнения движения:
M M M
т т т
d°-a _ fMm X — а
dt- r- Г
f Mm У
dt- ri Г
rf2f f Mm Z — T
dt2 r'i г
d"-x fMm а ¦ — X
dtз r2 г
у fMm P- — у
dt'i r» г
d*-z _ fMm T — Z
dt2 r* г
(S)
(P)
Легко проинтегрировать эту систему, определяющую а, ?, f, х, у, г в функции t, присоединяя к ней соотношение
Г* = (х — а)2 + (У — + (2 — f )2.
Сложим почленно соответствующие уравнения систем (S) и (P).
Тогда получим три уравнения вида
т
d*-x
dt2
0.
которые, если обозначить через u, т), С координаты центра тяжести системы, т. е.
Ma + тх М + т.....
5 =
Рис. 148.
преобразуются к виду: dtз
= 0. ? = 0.
dK df-
:0.
Эти три уравнения показывают, что центр тяжести системы совершает прямолинейное равномерное движение, т. е. выражают лишь частный случай общей теоремы о движении центра тяжести.
Найдем теперь относительное движение точки P по отношению к 5. Для этого перенесем оси в точку 5 (рис. 148) и пусть X1, ух, Z1-новые координаты планеты Р:
X1==X-*, у{ = у — §, Z1 = Z- 7. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
351
Если из уравнений (S) вычесть уравнения (P), сократив их предварительно на M и /те, то они примут вид:
d"-xx f(M + т) лгг
dt2 г* г
— _ /(M + m) IL dt2 ~~ г2 г
d2zx_ f(M + m) г,
dt2 r2 r "
Это — уравнения относительного движения. Их вид показывает, что точка X1, ух, Z1 движется относительно точки 5 так, как если бы последняя была неподвижна, имела бы массу M-\-tn вместо M и продолжала бы притягивать точку P по закону Ньютона. Действительно, вышенаписанные уравнения являются уравнениями движения точки массы т, притягиваемой к неподвижному началу силой
f(M-\-m)m fxт ,, .. . .
——^2— — • имеющей вид -l^-, где [і —/(ЛІ -\-т).
Отсюда следует, что к этому движению применим первый закон Кеплера: относительная траектория является коническим сечением, имеющим фокус в точке 5 и описываемым по закону площадей. Так как речь идет о планете, то это коническое сечение является эллипсом, и если вычислить элементы этого эллипса, то, обозначив через а большую полуось и через T — период обращения," мы получим соотношение, связывающее эти два элемента:
Аъ-а*
Мы замечаем, что отношение а3'Т2 не зависит от т..
Если коэффициент / известен (п. 230), то из этого соотношения можно получить приближенное значение для М-\-т.
Для другой планеты с той же степенью приближения имеем
/(Al+ и,) =
4 It2A^
откуда выводим
1 j- т
Ti T11 ! , JJh M
Так как отношения т,/М и тх!М будут порядка тысячных долей, то мы видим, что член в правой части очень близок к единице.. Вследствие этого третий закон Кеплера является только приближенным законом. 3.52
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
236. Масса планеты, обладающей спутником.
нами формула
