Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
силы, согласно принятому условию относительно знака F, будут F —
и F -у ¦ Мьі можем воспользоваться общими уравнениями плоского
движения; однако проще исходить из уравнений, получаемых по закону площадей и по теореме кинетической энергии. Интеграл площадей
dy dx _
если пользоваться полярными координатами, может быть написан следующим образом:
О)
Мы видим, что С есть момент начальной скорости относительно оси Oz. Пусть г>0 — начальная скорость и р0 — расстояние до нее от начала. Тогда абсолютное значение постоянной С равно p0v0; при этом нужно взять знак или — в зависимости от того, будет ли происходить движение в сторону положительного или отрицательного вращения вокруг оси Oz. Пусть r0, Q0 — координаты точки M0,3.328
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
т0 — угол между начальной скоростью M0V0 и продолжением OM0 (рис. 144). Имеем
P0 = r0 Sin 7]0,
и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет
С = r0v0 sin t]q.
Если условиться считать угол Tj0 положительным от продолжения M0Or радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как г0 и г>0 считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком Sinij0. Эта
постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей r0, V0 или Simj0. В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.
Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим d(mv2)
У \v0
Ms \
Ч V Ун
\ \ / Л
\Д
: F dr.
(2)
Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения г и 9 в функции времени. Скорость имеет выражение
При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить d& или dt, после чего получаем:
или
Vi = C2
если заменить
J (dr}?
г* Ufl)
через
(3)
(4)
Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния г. Тогда задача приведется к квадратурам, так как Fdr будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим V2 в функции г; подставляя это значение V2 в уравнения (3) и (4), найдем t и б при помощи квадратур.
Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя Vі его значениями (3) и (4) в уравнении кинети-ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
329
ческой энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде
1 dmv2 „ dr
¦¦ F
2 dt dt'
мы получим
d_\m f(dr\2 і C2I \ _ p dr^. dt\ 2 r2\]~ dt '
выполнив дифференцирование и разделив на ^, найдем
t d2r С2\ „
«(ж-=
что мы представим в виде
<РГ Cl C2 /КЧ
mST= F + (5)
Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила, действующая на точку, была увеличена на тС2/г3. Это же уравнение определяет г в функции t, когда F зависит только от г или от г и t.
Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в
1 dmv2 „ dr виде -j м ¦ = F щ , мы получим
і
rfo [
f
тС2 2
L FdL
FdV
dl
Выполним дифференцирование и заменим производную ^ - ее зна-
Idr dr ,
чением разделив затем на -щ, мы получим следующую фор-
мулу, установленную Бине:
I d* 1
тСг 1 , г
rfo 2
(6)
Это уравнение может служить для определения г в функции 0, т. е. для нахождения уравнения траектории, если F зависит только от г или же и от г и от 0. Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом
і "-M
деле, как известно, величина 1--1—^p- I отрицательна или положительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба.3.330
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
223. Сила есть функция только расстояния. Исследуем полнее важный случай, когда
F = y(r).
Уравнение (2) интегрируется сразу, и мы получаем
= f <p(r)rfr + A.
Чтобы найти зависимость между rut, заменим V2 его значением (3) и мы получим уравнение вида
ir
dt -
±V4(r) '
Следовательно, t определяется простой квадратурой. После этого легко найдется уравнение траектории; в самом деле, из уравнения (1) имеем
± г^У'Ип'
и для нахождения 6 надо выполнить квадратуру.
Теперь нужно определить знак, который следует брать перед корнем. Он определяется следующими условиями. Известно, что
dr
проекция скорости на радиус-вектор равна —; знание начальной
скорости позволяет знать знак величины i^-^fj ; вначале надо брать
перед корнем этот знак и сохранять его до тех пор, пока -к (г) не обратится в нуль, а затем определится и знак, который нужно будет взять впоследствии. Никакой трудности не возникает, когда (Jj(V0) равно нулю, т. е. когда начальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору. Тогда рассмотрим уравнение движения по радиусу-