Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 135

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 205 >> Следующая


силы, согласно принятому условию относительно знака F, будут F —

и F -у ¦ Мьі можем воспользоваться общими уравнениями плоского

движения; однако проще исходить из уравнений, получаемых по закону площадей и по теореме кинетической энергии. Интеграл площадей

dy dx _

если пользоваться полярными координатами, может быть написан следующим образом:

О)

Мы видим, что С есть момент начальной скорости относительно оси Oz. Пусть г>0 — начальная скорость и р0 — расстояние до нее от начала. Тогда абсолютное значение постоянной С равно p0v0; при этом нужно взять знак или — в зависимости от того, будет ли происходить движение в сторону положительного или отрицательного вращения вокруг оси Oz. Пусть r0, Q0 — координаты точки M0, 3.328

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

т0 — угол между начальной скоростью M0V0 и продолжением OM0 (рис. 144). Имеем

P0 = r0 Sin 7]0,

и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет

С = r0v0 sin t]q.

Если условиться считать угол Tj0 положительным от продолжения M0Or радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как г0 и г>0 считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком Sinij0. Эта

постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей r0, V0 или Simj0. В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.

Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим d(mv2)

У \v0
Ms \
Ч V Ун
\ \ / Л


: F dr.

(2)

Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения г и 9 в функции времени. Скорость имеет выражение



При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить d& или dt, после чего получаем:

или

Vi = C2

если заменить

J (dr}?

г* Ufl)

через

(3)

(4)

Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния г. Тогда задача приведется к квадратурам, так как Fdr будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим V2 в функции г; подставляя это значение V2 в уравнения (3) и (4), найдем t и б при помощи квадратур.

Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя Vі его значениями (3) и (4) в уравнении кинети- ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

329

ческой энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде

1 dmv2 „ dr

¦¦ F

2 dt dt'

мы получим

d_\m f(dr\2 і C2I \ _ p dr^. dt\ 2 r2\]~ dt '

выполнив дифференцирование и разделив на ^, найдем

t d2r С2\ „

«(ж-=

что мы представим в виде

<РГ Cl C2 /КЧ

mST= F + (5)

Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила, действующая на точку, была увеличена на тС2/г3. Это же уравнение определяет г в функции t, когда F зависит только от г или от г и t.

Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в

1 dmv2 „ dr виде -j м ¦ = F щ , мы получим

і

rfo [

f

тС2 2

L FdL

FdV

dl

Выполним дифференцирование и заменим производную ^ - ее зна-

Idr dr ,

чением разделив затем на -щ, мы получим следующую фор-

мулу, установленную Бине:

I d* 1

тСг 1 , г

rfo 2

(6)

Это уравнение может служить для определения г в функции 0, т. е. для нахождения уравнения траектории, если F зависит только от г или же и от г и от 0. Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом

і "-M

деле, как известно, величина 1--1—^p- I отрицательна или положительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба. 3.330

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ

223. Сила есть функция только расстояния. Исследуем полнее важный случай, когда

F = y(r).

Уравнение (2) интегрируется сразу, и мы получаем

= f <p(r)rfr + A.

Чтобы найти зависимость между rut, заменим V2 его значением (3) и мы получим уравнение вида

ir



dt -

±V4(r) '

Следовательно, t определяется простой квадратурой. После этого легко найдется уравнение траектории; в самом деле, из уравнения (1) имеем

± г^У'Ип'

и для нахождения 6 надо выполнить квадратуру.

Теперь нужно определить знак, который следует брать перед корнем. Он определяется следующими условиями. Известно, что

dr

проекция скорости на радиус-вектор равна —; знание начальной

скорости позволяет знать знак величины i^-^fj ; вначале надо брать

перед корнем этот знак и сохранять его до тех пор, пока -к (г) не обратится в нуль, а затем определится и знак, который нужно будет взять впоследствии. Никакой трудности не возникает, когда (Jj(V0) равно нулю, т. е. когда начальная скорость перпендикулярна радиусу-вектору. Тогда рассмотрим уравнение движения по радиусу-
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed