Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
4я2дЗ
Полу ченна я
f(M + m):
позволяет, как показал Ньютон, вычислить массу планеты, обладающей спутником.
Пусть т и т1— массы планеты P и ее спутника S (рис. 149). Силы Ф и Ф'— действия Солнца и других планет на рассматриваемую планету и ее спутник — почти параллельны и пропорциональны массам, так как расстояние гt от планеты до ее спутника очень мало по сравнению с расстояниями от этой же планеты до других тел солнечной системы. Поэтому если мы обозначим через X, Y, Z проекции сил притяжения этими другими телами единицы массы планеты, то уравнения движения планеты и ее спутника будут:
Рис. 149.
= fmm^ x^x
dt'1
г\
т JJSt = т Y-
dfi • і
d2z „ , fmmt Z1-Z
mHF = mz^--Tf -
(P)
d*xt у
Щ — тіл -
т
^y1
1 dt2
Pz dP
-ItilY
fTTlTTl1 X1 — X
/TTim1 уі —у
d-z-i _ Zmm1 Z1 — z
(S)
Перенесем оси параллельно самим себе в точку P и пусть X1, у[, Z1—новые координаты спутника ?:
X1 = X1-X, Уі = УІ — У, Z1-
¦Z.
После сокращения на множители т и т{ мы получим, вычитая уравнения (P) из уравнений (S), три уравнения относительного ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
353
движения
с,
/(m + m,) \
f(m + mx) Уі
dnz\
dt"
f(m + Ot1)
r? rI
(?
в которых силы Ф и Ф' исчезли.
Из уравнений (S1) видно, что спутник описывает вокруг планеты эллипс так, как если бы эта планета была неподвижной и притягивала свой спутник с силой + mi ^ Если обозначить через U1
rI
большую полуось орбиты спутника, а через T1 — его период обращения, то получим
/(ТО + Ztl1) :
4 7С2Д?
Так как, с другой стороны, для самой планеты
4л2дЗ
/(« + Al):
п
то, деля эти равенства почленно друг на друга, получим
т Af
1 +
Tn1
1 +
M
Ц
7?
Если масса спутника очень мала по сравнению с массой планеты,
1 + m,lm ,
то отношение -T , почти равно единице и мы приближенно
1 +TnftA
имеем
т
Cfi rJ* 2
что позволяет вычислить отношение массы планеты к массе Солнца.
При выводе последней формулы мы предположили, что масса Tn1 очень мала по сравнению с массой т. Этого нельзя сделать, если мы пожелаем применить наши вычисления к системе, образованной Землей и Луной. В этом случае прибегают к другому приему.
Формула
f{M + m) = (1)
справедлива всегда. С другой стороны, если на поверхности Земли 3.354
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
взять материальную точку с массой, равной 1, то можно будет определить, как мы это покажем впоследствии, силу притяжения А этой точки Землею. Известно, что если считать Землю сферической и состоящей из однородных концентрических слоев, то ее притяжение будет равно притяжению материальной точки массы т, находящейся в центре Земли. Другими словами, для силы притяжения имеем
/т
(2)
где р — радиус Земли. Исключая / из равенств (1) и (2), находим искомое соотношение
M 4л т
ГМрЗ
1.
По вопросу об определении масс небесных тел мы отсылаем к заметке Тиссерана, опубликованной в l'Annuaire du Bureau des Longitudes за 1894.
237. Определение времени в эллиптическом движении.
Вернемся опять к задаче двух тел и вспомним, что планета P массы т движется относительно осей, имеющих неизменные направления и проведенных через центр 5 Солнца так, как если бы Солнце было неподвижным, но имело массу, равную своей истинной массе М, увеличенной на т. Планета движется тогда вокруг Солнца как
материальная точка массы т., находящаяся под действием центральной силы
F = -f
(М-\- т)т
где
Iim
'W
Рис. 150.
Орбитой является ЭЛЛ1П1С с фокусом в точке 5, плоскость которого мы примем за плоскость ху. Обозначая через р параметр этого эллипса, через а — его большую полуось и через е — его эксцентриситет, мы получим, как это было показано в п. 227, следующие выражения для постоянной площадей С и постоянной h кинетической энергии
02 = (1/- = (10(1-62), и— ^
A = -C-.
а
Вершина А (рис. 150), ближайшая к Солнцу, называется перигелием, а вершина А' — афелием. Обозначим через ш угол, образованный радиусом-вектором перигелия и осью Sx, а через w — угол ASP между радиусом-вектором г = SP планеты и прямой 5Л; этот угол называется истинной аномалией. Полярный угол xSP связан с аномалией очевидным соотношением 6 = w -f- о, где ш — постоянная. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
355
Вычислим теперь время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки траектории. Мы нашли
V2 = ——у H= — — — г ' га
а, с другой стороны, для скорости после исключения й?0 при помощи теоремы площадей г2 db = C dt получается выражение
\ dt ) ' г2
Следовательно,
\dt I г2 г а '
Разрешая уравнение относительно -^J и заменяя C2 его значением [Ш(1— е2), получаем:
(dr\*_ ца(1 —g«) 2jx |i
W/ / /-2 г а'
что может быть написано так: Отсюда
^dt= ± rdr
Y а2е2 — (а — г)2
Обозначим через т момент прохождения планеты через перигелий.
Тогда г после момента т будет сначала увеличиваться, — будет
положительным и в вышенаписанном равенстве нужно будет взять знак -(- . Этот знак нужно сохранять, пока г возрастает от своего минимального значения r = a—с = а( 1—е) до своего максимального значения г = а(1 -У е). Положим
