Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Cdt = г2 dd, Ct = a? J сп2 [g (ti — 60) ] dd ,
где интеграл может быть выражен через функции 6 и H Якоби. ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 369
Если положить b = со, h = О, hb'1 = — ;л/д2 = -6?2, = 0, то, как вытекает из соотношений между коэффициентами и корнями, получится окружность г = я cos (6 — Ь0).
11. Функции Бесселя. Доказать следующие соотношения:
A/ft (Jf) = 1 W+ /ft-i (Jf)], (1)
rf4(A) - 1 [-/ft-i (*) - Jk+1 (Jf)] (2)
dx 2
+ (l-JJ)-4(^) = 0. (3)
Эти соотношения можно легко проверить, если заменить функции J их выражениями в "Виде определенных интегралов. Возьмем, например, первое. Действие сведется к доказательству соотношения
п Tl
J k cos (km— X sin tp) df—-j J {cos [(? + l)cp — X sin tp] + о о
+ cos [(k— l)tp — ^ sin tp]} dtp = 0
или, заменяя сумму двух косинусов произведением косинусов, к доказательству соотношения
J COS (k<f — X Sln tp) (k rftp — X COS tp rftp) = 0. о
Это соотношение очевидно, так как после интегрирования получается выражение sin (kf — X sin tp), обращающееся в нуль на пределах.
12. Развернуть Jk(x) в ряд по целым возрастающим положительным степеням X.
Ответ. Можно воспользоваться выражением Jjc (х) в виде определенного интеграла; коэффициенты разложения будут содержать интегралы вида
Tl Tl
j" COS &tp Sinm tp rfcp, j" sin &tp sin witp rftp, 0 0
которые легко вычисляются заменой sin»" tp синусами и косинусами углов, кратных tp.
Можно также воспользоваться дифференциальным уравнением (3), подставляя в него Ju(X) в виде ряда
(X X"^ \
«о+ «1-у+ «»27+ •¦• + «vTj- + •••]
и вычисляя коэффициенты при помощи рекуррентных формул.
13. Теорема Эйлера. Время Sr1 затрачиваемое кометой для прохождения по параболической траектории от точки P до точки P', можно найти из формулы
Л JL
GVf(M + m)ff= (r + r' + o)2 + (r + r'-o)2, где г иг' — радиусы-векторы обоих положений P и P', а о — хорда PP'. 3.370
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДИНАМИКА ТОЧКИ
(Мы докажем эту теорему ниже, в п. 304. См. также Тиссеран Mecanique celeste, стр. 112.)
14. Точка, притягиваемая неподвижным центром по закону Ньютона, описывает гиперболическую траекторию. Вычислить также положение в каждый момент времени.
Применить тот же метод, что и для эллипса (п. 237); это введет логарифмы и показательные функции вместо функций тригонометрических и им обратных.
15. Метод последовательных приближений для решения уравнения Кеплера (п. 239). Пусть и — корень уравнения. Доказать следующие предложения.
1) На тригонометрической окружности отложим от начала А дуг две равные и противоположные по знаку дуги AM и AM', равные по абсолют-
TC
ному значению j — е. Если конец дуги С лежит на дуге МАМ', то cos и
положителен; если нет, то отрицателен.
2) Если cos и положителен, что зависит от расположения С, то все значения последовательности U1, и2, ..., ип, ... начиная с некоторого момента, будут приближаться к и, причем или все с избытком или все с недостатком.
3) Если, наоборот, cos и отрицателен, то приближенные значения корня и, начиная с некоторого момента, будут попеременно приближаться к и то с избытком, то с недостатком, наподобие непрерывных дробей.
16. Притягивающий центр с абсциссой ? колеблется на оси Ox по закону ? = a cos nt. Этот центр притягивает свободную материальную точку M пропорционально расстоянию. Найти движение точки М.
(Проекция траектории на плоскость уг будет эллипсом с центром в точке О.)
17. Найти движение точки, вызванное центральной силой, пропорциональной f2r/p, где f — скорость точки, г—расстояние от нее до центра сил и р — радиус кривизны траектории. (Р е з а л ь, Comptes rendus, т. XC, стр. 769.)
18. Найти движение точки, находящейся под действием центральной силы постоянной величины. Исследовать траекторию. (0 определяется как функция г эллиптическим интегралом. Ниже, при изложении естественных уравнений движения точки на поверхности, мы увидим, что к этой задаче можно привести исследование движения тяжелой точки по конусу вращения с вертикальной осью.)
19. Найти движение материальной точки, находящейся под действием центральной силы
—----J-
пи а — начальное расстояние точки от притягивающего центра. Начальная скорость перпендикулярна начальному радиусу-вектору и равна kja.
(Траектория является инверсией эллипса относительно его центра.)
20. Найти движение точки, находящейся под действием центральной силы
F= mV-
f- cos3 ti •
(Траектория — коническое сечение; частный случай законов, найденных Альфеном и Дарбу.)
21. Центральные силы с сопротивлением среды. Точка массы 1 движется под действием центральной силы F и сопротивления R, касательного к траектории. Доказать, что траектория плоская. Далее, приняв плоскость
dy dx
траектории за плоскость ху и обозначив через S величину х — у -г- , че- ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ 371
пез р—расстояние от центра сил О до касательной и через р— радиус кри-
г S2 S dS
визны, доказать формулы ^s" у ¦ ^ = ~ рг ¦
